Помогите, пожалуйста, решить. $$a_{n}=12a_{n-1}-45a_{n-2}+50a_{n-3}-11n^{3}\cdot 3^{n},a_{1}=13, a_{2}=2, a_{3}=3$$

задан 21 Май '15 0:40

изменен 22 Май '15 9:44

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Эту задачу можно решить или при помощи производящих функций, или методом неопределённых коэффициентов. Но вычисления здесь ужасно длинные, и у меня не хватило терпения довести их до конца.

(21 Май '15 12:29) falcao

Преподаватель не сказал как решать. Если можно, подскажите решение с производящими функциями пожалуйста.

(21 Май '15 15:16) Cj777

@Cj777: решать этот пример с помощью производящих функций можно, но это совсем тяжело. При помощи метода неопределённых коэффициентов при помощи компьютера ещё худо-бедно можно досчитать до ответа, хотя он имеет ужасный вид. По-моему, давать такие задания на вычисления совершенно "немилосердно" :)

Решение сейчас напишу.

(21 Май '15 19:42) falcao

@Cj777, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(22 Май '15 9:45) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

Для начала воспроизведу полученный ответ:

$%a_n=-\frac{9493}{18}\cdot2^n+(\frac{21105313}{1800}-\frac{865991}{600}\,n)\cdot5^n-11\cdot3^n\cdot(\frac{27}4n^3+\frac{243}4n^2+\frac{3645}8n+\frac{8019}8)$%.

Надо заметить, что последовательность, удовлетворяющая условию, существует и единственна. И она вот оказалась с такими числами, из которых "одно другого краше". Мой низкий поклон тому, кто такое задание составлял :)

Вот каким способом можно проникнуть в сей волшебный мир "астрономических" чисел. Сначала составляем характеристическое уравнение $%\lambda^3-12\lambda^2+45\lambda-50=0$%. Его корнями являются целые числа, и оно имеет следующее разложение на множители: $%(\lambda-2)(\lambda-5)^2=0$%. Следовательно, согласно теории, общее решение однородного рекуррентного уравнения имеет вид $%C_12^n+(C_2+C_3n)5^n$% для некоторых значений констант.

В данном случае уравнение неоднородное, и его частное решение находится в виде $%3^n(k_0n^3+k_1n^2+k_2n+k_3)$%. Его надо подставить в рекуррентное уравнение, сократить на $%3^n$%, а затем приравнять коэффициенты кубических многочленов при одинаковых степенях. Получится система, из которой находятся эти коэффициенты. Я их отдельно не выписываю, так как они входят в запись ответа.

Теперь осталось сложить общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного. Это даёт общую формулу с точностью до констант. Составляем уравнения $%a_1={13}$%, $%a_2=2$%, $%a_3=3$%. Это даёт систему из трёх уравнений от трёх неизвестных. Коэффициенты там совершенно "дикие", но эту работу с честью проделал компьютер. Он же проверил, что итоговая формула удовлетворяет как начальным условиям, так и рекуррентному соотношению.

ссылка

отвечен 21 Май '15 20:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×926

задан
21 Май '15 0:40

показан
384 раза

обновлен
22 Май '15 9:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru