В треугольнике $%ABC$% (который не является равносторонним) известно, что $%AB^2+BC^2=2AC^2$%. Пусть $%AT, CP -$% высоты, $%H -$% ортоцентр, $%M -$% точка пересечения медиан треугольника $%ABC$%. Доказать, что прямые $%AC, PT$% и $%HM$% пересекаются в одной точке.

задан 21 Май '15 12:58

изменен 30 Июл '15 10:50

EdwardTurJ's gravatar image


7055151

10|600 символов нужно символов осталось
2

Введём прямоугольную систему: $%Q$% (основание высоты $%BQ$%) - начало координат, $%A(q,0), B(0,1),C(p,0)$%.

Последовательно находим:

$%AB:x+yq=q$%, $%BC:x+yp=p$%; $%AT:px-y=pq$%, $%CP:qx-y=pq$%.

$%M((p+q)/3,1/3)$%, $%H(0,-pq)$%, $%P\left(\frac{q(pq+1)}{q^2+1},\frac{q(q-p)}{q^2+1}\right)$%, $%T\left(\frac{p(pq+1)}{p^2+1},\frac{p(p-q)}{p^2+1}\right)$%, .

Прямая Эйлера: $%HM:y(p+q)=(3pq+1)x-pq(p+q)$% пересекается с $%AC$% в точке $$x_1=\frac{pq(p+q)}{3pq+1}.$$ Прямая $%PT$%: $$\frac{y-\frac{p(p-q)}{p^2+1}}{\frac{p(p-q)}{p^2+1}-\frac{q(q-p)}{q^2+1}}=\frac{x-\frac{p(pq+1)}{p^2+1}}{\frac{p(pq+1)}{p^2+1}-\frac{q(pq+1)}{q^2+1}}$$ пересекается с $%AC$% в точке $$x_2=\frac{2pq}{p+q}.$$ Равенство $%x_1=x_2$% следует из равенства $%AB^2+BC^2=2AC^2$%, которое эквивалентно равенству $%p^2+q^2=4pq+2$%.

ссылка

отвечен 21 Май '15 17:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×390
×6

задан
21 Май '15 12:58

показан
356 раз

обновлен
30 Июл '15 10:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru