0
1

Найти объём тела, заданного ограничивающими поверхностями:

$$z=\sqrt{\frac {16}9-x^2-y^2}$$

$$2z=x^2+y^2$$

задан 21 Май '15 15:02

изменен 21 Май '15 16:47

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь можно поступить так: приравниваем два выражения для $%z$% и решаем получившееся уравнение относительно неизвестной $%x^2+y^2$%. Получается значение $%x^2+y^2=\frac43$%. Ему соответствует значение $%z=\frac23$%. Ясно также, что $%z\ge0$%. Таким образом, получились следующие границы для переменной: $%0\le z\le\frac23$%. Для каждого такого $%z$% рассматриваем сечение, параллельное плоскости $%Oxy$%. Пусть $%S(z)$% обозначает площадь такого сечения. Тогда объём равен интегралу от этой площади в указанных выше пределах.

При фиксированном $%z$% у нас возникают два уравнения: $%x^2+y^2=\frac{16}9-z^2$% и $%x^2+y^2=2z$%. Это две окружности, а в сечении тела получается кольцо между ними. Его площадь равна разности площадей кругов, получаемых как произведение $%\pi$% на квадрат радиуса, то есть на число в правой части уравнения. Отсюда $%S(z)=\pi(\frac{16}9-z^2-2z)$%. Окончательно имеем $$V=\int\limits_0^{2/3}S(z)\,dz=\pi\int\limits_0^{2/3}\left(\frac{16}9-z^2-2z\right)\,dz=\frac{52}{81}\pi.$$

ссылка

отвечен 21 Май '15 20:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,042

задан
21 Май '15 15:02

показан
340 раз

обновлен
21 Май '15 20:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru