Дана неявная функция, которая задана условиями $%3x^y+4y^x-7xy=0$%, $%y(1)=1$%. Как написать для нее формулу Тейлора-Пеано второго порядка в точке $%x_0=1$%?
Подскажите пожалуйста.

задан 21 Май '15 23:37

изменен 22 Май '15 21:45

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

2

Здесь нужно рассматривать y как y(x), и дифференцировать функцию два раза. Получатся уравнения достаточно сложного вида, но из них, подставляя x=1, нетрудно будет выразить $%y'(1)$% и $%y''(1)$%. Этого достаточно для формулы, которая имеет здесь вид $%y(x)=y(1)+y'(1)\cdot(x-1)+y''(1)\cdot(x-1)^2+o((x-1)^2)$%.

При этом надо иметь в виду способ дифференцирования функций вида $%f(x)^{g(x)}$%. Об этом уже заходила сегодня речь.

(22 Май '15 2:12) falcao
1

@gagarin: надо продиффенцировать по x ту функцию, которая дана в левой части, то есть $%3x^y+...$%, и приравнять результат к нулю, так как сама функция тождественно нулевая. При этом надо иметь в виду, что x -- независимая переменная, а y есть какая-то функция от x. Это, конечно, не kx+b, а совершенно абстрактная функция типа f(x), но мы не вводим нового обозначения, а считаем, что это функция y=y(x). Её производной будет y'(x), или сокращённо y'.

На примере: допустим, у нас было бы уравнение $%x^2+y^2-y-7=0$%. Тогда после дифференцирования по x получилось бы $%2x+2yy'-y'=0$%.

(22 Май '15 11:21) falcao
2

@gagarin: я совершенно не против того, чтобы именно так и было. То есть Вы решаете и сверяетесь -- так будет полезнее всего. Значение $%y'(1)=-4/3$% найдено верно. Теперь этим же методом надо найти $%y''$%.

(22 Май '15 23:28) falcao

Верно ли что $%y''(1)=0$%? Или я что-то напутал? И если это правильно найдено, а мне надо до второго порядка, то я запишу $%y(x)=y(1)-4/3(1)⋅(x−1)+0⋅(x−1)2+o((x−1)2)$%? Или надо дальше раскладывать?

(23 Май '15 10:58) gagarin

Спасибо большое, надеюсь, вы это проверили, а не просто мне так ответили) и еще, а $%o$%-малое я пишу $%o((x−1)2)$% или $%o((x−1))$%? Квадрат нужно писать или нет?

(23 Май '15 15:29) gagarin

@gagarin: у меня эти значения для первой и второй производной были подсчитаны заранее. Они совпали с найденными Вами. Подозревать меня в том, что я отвечаю "просто так" -- это смотрится "трогательно" весьма :)

Посмотрите самый первый комментарий. Там указан вид формулы, и там видно, что в конце должно быть именно $%o((x-1)^2)$%, а не что-то другое. Это соответствует поставленной в условии задаче написать формулу второго порядка, не понижая до первого, и не повышая до третьего. То, что там получилось $%y''(1)=0$%, на форму ответа не влияет.

(23 Май '15 16:19) falcao

Итог получится $%y=1-4/3(x-1) + o((x−1)2)$%? Или нужно раскрыть скобки?

(23 Май '15 21:36) gagarin
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,625

задан
21 Май '15 23:37

показан
611 раз

обновлен
23 Май '15 21:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru