Дан произвольный треугольник $%ABC$%. Пусть точка $%E$% – середина той дуги, описанной окружности треугольника, на которой лежит точка $%C$%. Точка $%C_{1}$% – середина стороны $%AB$%. Из точки $%E$% опущен перпендикуляр $%EF$% на прямую $%AC$%. Прямая $%C_{1}F$% пересекает сторону $%BC$% в точке $%P$%. Найти периметр четырёхугольника $%C_{1}ACP$% , если $%AB = 88$%; $%BC = 89$%; $%AC = 81$%.

задан 22 Май '15 23:20

1

Треугольник-то не "произвольный", а именно со сторонами 88, 89 и 81... И "середина той дуги описанной окружности треугольника, на которой лежит точка С" - это наверное, середина той дуги $%AB$% (на которой лежит точка С).
@serg55, а ответа на задачу у Вас нет?)) у меня "в числах" получается периметр $%=44 + 81 + 4 + \frac{81}{2}\cdot \sqrt{\frac{3526}{2403}} $% =))) (если я нигде не наврала, то последний ужас - это сторона $%C_1P$% ).. такое может быть?))

(23 Май '15 3:08) ЛисаА

@ЛисаА: К сожалению, ответа у меня нет, но в этом задании ответ может получиться как угодно ужасным.

(23 Май '15 12:19) serg55

Ну, только ответ $%129 + 27\sqrt{\frac{1763}{267}}$% (вечером посчитала "криво", и даже днем повторила ошибку.. по подсказке уже исправила =))

(23 Май '15 17:44) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
3

1) Точка $%E$% будет пересечением серединного перпендикуляра к стороне $%AB$% с описанной окружностью ( потому что если дуги равные, то и стягивающие их хорды должны быть равные, то есть надо получить равные отрезки $%AE = BE$%, значит, точка $%E$% лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $%AB$% ).
2) Так как $%\angle AC_1E = 90^0$% и $%\angle AFE = 90^0$%, то вокруг четырехугольника $%AFEC_1$% можно описать окружность ( центр ее будет на середине гипотенузы $%AE$% )
3) Смотрим, где какие углы. $%\angle BAE = 90^0 - \frac{\gamma}{2}$%, тогда и $%\angle BCE = \angle BAE = 90^0 - \frac{\gamma}{2}$% ( одна дуга $%BE$% на "исходной" ( описанной вокруг $%ABC$% ) окружности ). Тогда угол $%\angle ECF = 180^0 - \gamma - ( 90^0 - \frac{\gamma}{2} ) = 90^0 - \frac{\gamma}{2}$%, то есть, в треуг-ке $%CFE$% угол $%CEF = \frac{\gamma}{2}$%. С другой стороны $%\angle C_1FE = \angle C_1AE = 90^0 - \frac{\gamma}{2}$% ( одна дуга $%C_1E$% на "второй" окружности ( описанной вокруг $%AFEC_1$% ). А значит, угол $%EKF = 90^0$% ( точка $%K$% - пересечение $%CE$% и прямой $%C_1F$% ). То есть, в треугольнике $%PCF$% биссектриса $%CK$% оказалась одновременно высотой. То есть, треуг-к $%PCF$% равнобедренный: $%CP = CF$%.
4) По теореме Менелая ( для треуг-ка $%ABC$% и прямой $%C_1F$% ):
$%\frac{BP}{PC}\cdot \frac{CF}{AF} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1$%. Но так как $%AC_1 = C_1B$% ( то есть $%\frac{AC_1}{C_1B} = 1$% ), и $%PC = CF$%, то получаем: $%\frac{BP}{AF} = 1$%, т.е. $%BP = AF$%. То есть если $%CP = CF = x$%, то $%81 + x = 89 - x$%, откуда $%x = 4$% ( то есть $%CP = CF = 4$% ).
5) $%\angle C_1PB = \angle CPF = \angle CFP = \frac{\gamma}{2}$%, то есть если в исходном треугольнике $%\angle ABC = \beta$%, то ( по теор. синусов из треуг-ка $%C_1PB$% ) получаем: $%C_1P = \frac{44}{sin(\gamma/2)} \cdot sin\beta$% . Перепишем дробь $%\frac{44}{sin(\gamma/2)} = \frac{88}{2sin(\gamma/2)\cdot cos(\gamma/2)} \cdot cos(\gamma/2)= \frac{88}{sin\gamma}\cdot cos(\gamma/2)$% , но можно заменить $%\frac{88}{sin\gamma} = \frac{81}{sin\beta}$% ( это по теор. синусов для сходного треуг-ка $%ABC$% ). То есть $%C_1P = \frac{44}{sin(\gamma/2)}\cdot sin\beta = \frac{81}{sin\beta}\cdot cos(\gamma/2)\cdot sin\beta = 81\cdot cos(\gamma/2)$%
( То же самое можно было бы получить, если записать теорему Менелая для треугольника $%AC_1F$% и прямой $%BC$%:
$%\frac{FP}{PC_1}\cdot\frac{C_1B}{AB}\cdot\frac{AC}{CF} = 1$% , то есть

$%\frac{PF}{PC_1}\cdot\frac{44}{88}\cdot\frac{81}{4} =1$%, то есть $%\frac{PF}{PC_1} = \frac{8}{81}$%, то есть $%PF = 8y$% и $%PC_1 = 81y$%. Но из треугольника $%PCF$% получаем $%PF = 2\cdot CF\cdot cos(\gamma/2) = 8\cdot cos(\gamma/2)$%, то есть коэффициент $%y = cos (\gamma/2)$%, и $%C_1P = 81\cdot cos(\gamma/2)$% ).

6) А дальше "все плохо".. ( и отрезок $%C_1P$% получается "страшным" ),
По теореме косинусов из треуг-ка $%ABC$% получаем:
$%88^2 = 89^2 +81^2 - 2\cdot 89\cdot 81\cdot cos\gamma$%, то есть $%7744 = 7921 + 6561 - 14418\cdot cos\gamma$%,
то есть $%cos\gamma = \frac{6738}{14418} = \frac{1123}{2403}$% ( и больше это сокращаться "не хочет".. ) , для половинного угла: $%2\cdot cos^2(\gamma/2) -1 = cos\gamma$% , то есть $%cos(\gamma/2) = \sqrt{\frac{cos\gamma +1}{2}} = \sqrt{\frac{1763}{2403}}$%. И соответственно $%C_1P = 81\cdot \sqrt{\frac{1763}{2403}} = 27\cdot\sqrt{\frac{1763}{267}}$%, и периметр 4-угольника $%= 129 + 27\cdot\sqrt{\frac{1763}{267}}$% .
Как-то так.. alt text

ссылка

отвечен 23 Май '15 14:05

изменен 23 Май '15 17:39

1

@ЛисаА: маленькая опечатка в строке 8 сверху -- там угол равен $%\gamma/2$%.

(23 Май '15 15:24) falcao
1

@falcao, спасибо, ) конечно, там $%\frac{\gamma}{2}$% (исправила),
сейчас попробую дописать остальное.

(23 Май '15 15:45) ЛисаА

@serg55, я дописала решение -- но получился именно тот ужас, о котором я говорила в первом комменте, посмотрите сами - вроде я и не "врала" нигде.

(23 Май '15 16:47) ЛисаА

@ЛисаА: У меня получилось $%cos \frac{ \gamma }{2}= \sqrt{ \frac{cos \gamma +1}{2} } = \sqrt{ \frac{1763}{2403} }$%

И тогда периметр равен $%129+81 \sqrt{ \frac{1763}{2403} }=129+27 \sqrt{ \frac{1763}{267} }$%, cократил на $%3$%.

(23 Май '15 17:18) serg55
1

@serg55, да, прошу прощения, это я стормозила, двойка уйдет под корень, и у Вас верно (я исправлю в своем ответе - можно ведь?=))

(23 Май '15 17:34) ЛисаА

@ЛисаА: Конечно, можно. Огромное спасибо за такое подробное и красивое решение. С уважением.

(23 Май '15 17:39) serg55

@serg55, пожалуйста )) может, и можно было ее как-то по-другому (и попроще) сделать, но я не вижу, как.. А Вам спасибо и за задачи, и за то, что исправляете еще и мои ошибки =)

(24 Май '15 17:00) ЛисаА
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,544

задан
22 Май '15 23:20

показан
495 раз

обновлен
24 Май '15 17:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru