Подскажите, пожалуйста, как найти наибольшее и наименьшее значение функции $%w=-xy+z$% в шаре $%x^2+y^2+z^2 \le 1$%?

задан 23 Май '15 15:36

изменен 23 Май '15 16:10

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Положим $%k=-xy+z$%, и выясним, при каких значениях $%k$% неравенство $%x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+(xy+k)^2\le1$% может иметь решения.

Выражение $%x^2+y^2+(xy+k)^2-1=x^2(y^2+1)+2xyk+y^2+k^2-1$% является квадратным трёхчленом от $%x$% с положительным старшим коэффициентом. Для того, чтобы оно могло принимать значения $%\le0$%, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неотрицательным. Удобнее рассмотреть приведённый дискриминант: $%D/4=(yk)^2-(y^2+1)(y^2+k^2-1)\ge0$%. Он зависит от $%t=y^2\ge0$% и имеет такой вид после упрощений: $%-t^2-k^2+1\ge0$%, откуда $%k^2\le1-t^2\le1$%. Следовательно, $%k\in[-1;1]$%. Наибольшее значение равно $%1$%, и оно достигается при $%x=y=0$%, $%z=1$%. Наименьшее значение $%-1$% достигается при $%x=y=0$%, $%z=-1$%.

ссылка

отвечен 23 Май '15 16:12

А почему именно при x=0 и y=0? Ведь можно и другие цифры подобрать, чтоб значение функции равно было -1 или 1? Разве нет?

(24 Май '15 16:56) gagarin

@gagarin: после того, как доказано двойное неравенство $%-1\le k\le1$%, остаётся проверить, что значения 1 и -1 достигаются хотя бы на одном наборе. Этого достаточно для заключения. Анализировать все такие наборы не обязательно. Допустим, что они есть. Всё равно больше 1 значение быть не может.

Правда, в данном случае легко проверить, что других случаев нет. Если $%k=\pm1$%, то из неравенства $%k^2\le1-t^2\le1$% следует, что t=0, а потому y=0. Тогда $%z=\pm1$%, откуда x=0, так как $%z^2$% уже равно 1, и на $%x^2+y^2$% больше ничего не остаётся.

(24 Май '15 17:03) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×375
×111

задан
23 Май '15 15:36

показан
410 раз

обновлен
24 Май '15 17:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru