теория-вероятностей - Теория вероятностей

Я для удобства буду обозначать координаты первой и второй точек через $%x$% и $%y$% соответственно.

Событие $%A$% означает, что $%y < 1-x$%, то есть $%x+y < 1$%. На языке геометрической вероятности, этому событию соответствует "половинка" единичного квадрата, откуда $%P(A)=\frac12$%.

Событие $%B$%, для уравнения $%t^2+2xt+y=0$% относительно $%t$%, означает, что дискриминант квадратного трёхчлена неотрицателен, откуда $%D/4=x^2-y\ge0$%. Этому событию соответствует часть единичного квадрата, находящаяся не выше параболы $%y=x^2$%. Легко видеть, что $%P(B)=\int\limits_0^1x^2\,dx=\frac13$%.

Событие $%C$% означает, что $%x\le\frac12$% и $%y\le\frac12$%. Это квадрат со стороной $%\frac12$%, то есть $%P(C)=\frac14$%.

Наконец, событие $%D$% является объединением двух полос $%0\le x\le\frac12$% и $%0\le y\le\frac12$%. Дополнением является квадрат со стороной $%\frac12$%, откуда $%P(D)=\frac34$%.

Теперь найдём "комбинированные" вероятности. Очевидно, что $%C\subseteq D$%, поэтому $%P(C\cap D)=P(C)=\frac14$%. Событие $%B\cup D$% изображается как объединение $%D$% и той части правого верхнего квадратика со стороной $%\frac12$%, не вошедшего в $%D$%, которая находится не выше графика параболы. Она пересекает прямую $%y=\frac12$% в точке $%x=\frac1{\sqrt2}$%, поэтому $%P(B\cup D)=P(D)+\int\limits_{1/\sqrt2}^1(x^2-\frac12)\,dx=\frac34+\frac16(\sqrt2-1)=\frac{7+2\sqrt2}{12}$%. Для последнего из событий получается $%P(A\cup C)=P(A)=\frac12$% ввиду $%C\subseteq A$%.