1
1

На отрезке $%[0,1]$% наудачу ставят две точки. Пусть $%e$% и $%h$% - координаты этих точек. Рассматриваются следующие события:
$%A =$% {вторая точка ближе к левому концу отрезка, чем первая точка к правому};
$%B=$% {корни уравнения $%x^2+2ex+h=0$% действительны};
$%C = \{\max \{e,h\}≤\frac 12\}$%;
$%D = \{\min \{e,h\}≤\frac 12\}$%.
Привести соответствующие рисунки и найти: $%P(C∩D)$%, $%P(B∪D)$%, $%P(A∪C)$%.

задан 23 Май '15 19:05

изменен 23 Май '15 22:18

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я для удобства буду обозначать координаты первой и второй точек через $%x$% и $%y$% соответственно.

Событие $%A$% означает, что $%y < 1-x$%, то есть $%x+y < 1$%. На языке геометрической вероятности, этому событию соответствует "половинка" единичного квадрата, откуда $%P(A)=\frac12$%.

Событие $%B$%, для уравнения $%t^2+2xt+y=0$% относительно $%t$%, означает, что дискриминант квадратного трёхчлена неотрицателен, откуда $%D/4=x^2-y\ge0$%. Этому событию соответствует часть единичного квадрата, находящаяся не выше параболы $%y=x^2$%. Легко видеть, что $%P(B)=\int\limits_0^1x^2\,dx=\frac13$%.

Событие $%C$% означает, что $%x\le\frac12$% и $%y\le\frac12$%. Это квадрат со стороной $%\frac12$%, то есть $%P(C)=\frac14$%.

Наконец, событие $%D$% является объединением двух полос $%0\le x\le\frac12$% и $%0\le y\le\frac12$%. Дополнением является квадрат со стороной $%\frac12$%, откуда $%P(D)=\frac34$%.

Теперь найдём "комбинированные" вероятности. Очевидно, что $%C\subseteq D$%, поэтому $%P(C\cap D)=P(C)=\frac14$%. Событие $%B\cup D$% изображается как объединение $%D$% и той части правого верхнего квадратика со стороной $%\frac12$%, не вошедшего в $%D$%, которая находится не выше графика параболы. Она пересекает прямую $%y=\frac12$% в точке $%x=\frac1{\sqrt2}$%, поэтому $%P(B\cup D)=P(D)+\int\limits_{1/\sqrt2}^1(x^2-\frac12)\,dx=\frac34+\frac16(\sqrt2-1)=\frac{7+2\sqrt2}{12}$%. Для последнего из событий получается $%P(A\cup C)=P(A)=\frac12$% ввиду $%C\subseteq A$%.

ссылка

отвечен 23 Май '15 19:52

Огромное Вам спасибо!)

(23 Май '15 21:49) Лола
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,187

задан
23 Май '15 19:05

показан
1447 раз

обновлен
23 Май '15 21:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru