Найти порядок группы $%GL(2, 4)~-~$%группы обратимых линейных отображений векторного пространства $%\mathbb F_2^4$% в себя. Существует ли в этой группе элемент порядка $%5$%?

задан 23 Май '15 20:49

10|600 символов нужно символов осталось
1

Обратимое отображение задаётся в фиксированном базисе невырожденной матрицей. Принцип подсчёта был описан здесь. В данном случае получается $%(2^4-1)(2^4-2^1)(2^4-2^2)(2^4-2^3)=15\cdot14\cdot12\cdot8=20160$%. Порядок группы кратен 5, поэтому имеется элемент порядка 5. При желании, можно такую матрицу указать в явном виде.

Добавление. Вот на всякий случай явный вид матрицы, имеющей порядок 5: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Матрицу можно возвести в 5-ю степень и убедиться в этом непосредственно. Построена она была так: я рассмотрел поле порядка $%2^4$%, которое является 4-мерным векторным пространством над $%\mathbb F_2$%. Оно было построено при помощи неприводимого многочлена $%x^4+x+1$%. Нетрудно увидеть, что $%x$% имеет порядок 15 в мультипликативной группе. Тогда умножение на $%x^3$% элементов поля должно быть линейным преобразованием порядка 5, и соответствующая матрица (в базисе из одночленов) была предъявлена выше.

ссылка

отвечен 23 Май '15 21:00

изменен 24 Май '15 3:44

@falcao, можете, пожалуйста, подробнее объяснить, почему из того, что порядок группы кратен $%5$%, следует, что имеется элемент порядка $%5$%?

(24 Май '15 0:46) Poncho

@Poncho: это общий факт, он верен для всех конечных групп. Если порядок группы делится на простое число $%p$%, то в группе есть элемент порядка $%p$%. Доказательство можно прочитать, например, в книге Ленга "Алгебра". На форуме было нечто близкое здесь в смысле используемых приёмов доказательства.

(24 Май '15 3:12) falcao

Спасибо.$%\mbox{}$%

(24 Май '15 11:12) Poncho
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×339

задан
23 Май '15 20:49

показан
351 раз

обновлен
24 Май '15 11:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru