$%\mathcal G=C_{13}\oplus C_{247}$%, где $%C_{13},C_{247}$% циклические группы порядков $%13 \ и \ 247$% соответственно. $%\varphi_1$% и $%\varphi_2$% два гомоморфизма группы $%\mathcal G$%, ядра которых изоморфны. Можно ли утверждать, что изоморфны и образы?

задан 23 Май '15 23:11

10|600 символов нужно символов осталось
2

В данном случае образы будут изоморфны. Группа имеет порядок $%13^2\cdot19$%. Если оба ядра тривиальны, или совпадают со всей группой, то всё ясно. Если индекс ядра равен простому числу, то факторгруппа имеет простой порядок, а все такие группы изоморфны. Остаётся рассмотреть два случая: когда ядра имеют порядок 13, и когда они имеют порядок 19.

Во втором случае можно заметить, что ядра совпадают, так как в любой циклической группе есть только одна подгруппа заданного, и в частности это относится к подгруппам порядка 19 группы $%C_{247}$%. У элемента прямой суммы, имеющего порядок 19, записанного в виде упорядоченной пары, на первом месте должен стоять тривиальный элемент, поскольку элемент порядка 13 там быть не может. Получается, что подгруппа порядка 19 здесь всего одна, и содержится она во втором слагаемом.

Наконец, если оба ядра имеют порядок 13, то факторгруппа имеет порядок $%13\cdot19$%. Все такие группы являются циклическими за счёт того, что $%19-1$% не делится на $%13$%. Но это более сложный факт, а здесь достаточно заметить, что для абелева случая имеет место разложение в прямую сумму групп порядка 13 и 19, и ввиду взаимной простоты этих двух чисел получается $%C_{13}\oplus C_{19}\cong C_{13\cdot19}$%.

ссылка

отвечен 24 Май '15 3:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730
×86

задан
23 Май '15 23:11

показан
393 раза

обновлен
24 Май '15 3:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru