Найти значение комплексного параметра $%z$%, при котором матрица подобна эрмитовой.

$$A(z) = \begin{bmatrix}2z & 2 \\ 1-2z & -1 \end{bmatrix}$$

задан 24 Май '15 6:22

изменен 24 Май '15 9:42

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Надо воспользоваться определением. Из него следует, что $%a_{21}=\overline{a_{12}}$%, то есть $%1-2z=\bar2=2$%, и $%z=-\frac12$%. Матрица оказывается вещественной симметричной, в частности, эрмитовой.

(24 Май '15 10:33) falcao

@falcao: А какое определение вы имеете в виду? Похоже на определение симметричной матрицы. Но скорее всего вы на самом деле имеете в виду определение подобия матриц. Только вот я не пойму, откуда это из него следует, расскажите, пожалуйста.

(24 Май '15 13:52) donki
1

@donki: я не обратил внимания на то, что здесь речь о подобии.

Если так, то у эрмитовой матрицы собственные значения вещественны. Их сумма тоже вещественна, а это след матрицы, который равен 2z-1. Из этого делаем вывод, что z вещественно. Определитель равен 2z-2, и дискриминант характеристического многочлена равен $%(2z-1)^2-4(2z-2)=(2z-3)^2$%. При $%z\ne3/2$% получается два различных вещественных корня, и матрица диагонализируема. При z=3/2 собственные числа равны 1, но матрица не единичная, поэтому она не диагонализируемая, а эрмитова должна быть диагонализируемой.

(24 Май '15 14:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×131

задан
24 Май '15 6:22

показан
1115 раз

обновлен
24 Май '15 14:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru