Найти угол между вектором $%(1,1,1,0)$% и подпространством решений уравнения $%x_1+x_2+x_3+x_4=0$% в евклидовом пространстве $%\mathbb R^4$%.

задан 24 Май '15 6:39

изменен 24 Май '15 9:52

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Найдём сначала ортогональную проекцию вектора на подпространство. Вектор $%(1;1;1;1)$% является вектором нормали к гиперплоскости. Проектируем вдоль этого направления. Нас интересует вектор $%(1;1;1;0)+t(1;1;1;1)$%, принадлежащий подпространству.Это имеет место, если сумма его координат равна нулю, то есть при $%3+4t=0$%, откуда $%t=-\frac34$%. Проекция при этом равна $%(\frac14;\frac14;\frac14;-\frac34)$%.

Угол между вектором и подпространством -- это угол между вектором и его проекцией. Для удобства заменим проекцию на пропорциональный вектор. Таким образом, надо найти угол между $%a=(1;1;1;0)$% и $%b=(1;1;1;-3)$%. Скалярное произведение равно $%(a,b)=3$%; длины равны $%|a|=\sqrt3$% и $%|b|=2\sqrt3$%. Поэтому косинус угла равен $%\cos\phi=\frac{(a,b)}{|a|\cdot|b|}=\frac12$%, то есть угол равен $%60^{\circ}$%.

ссылка

отвечен 24 Май '15 10:30

@falcao: а можете объяснить поподробнее: почему сумма координат вектора, принадлежащего данному подпространству, должна быть равна нулю?

(24 Май '15 14:52) donki

@donki: могу, только это очевидно. Прочитаем уравнение, задающее подпространство, словами: $%x_1+\cdots+x_4=0$%. Координат у нас четыре, их сумма равна нулю.

(24 Май '15 14:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×195
×122
×76

задан
24 Май '15 6:39

показан
2672 раза

обновлен
24 Май '15 14:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru