Является ли факторкольцо кольца $%\mathbb Z[i]$% по идеалу $%(7)=7\mathbb Z[i]$% целостным?

задан 24 Май '15 22:53

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ответ положительный. Достаточно проверить, что в факторкольце нет делителей нуля. Предположим, что $%\overline{a+bi}\cdot\overline{c+di}=\bar0$%. Тогда $%(a+bi)(c+di)=7(x+yi)$% (во всех случаях числа, обозначаемые буквенно, подразумеваются целыми). Тогда для квадратов модулей имеет место равенство $%(a^2+b^2)(c^2+d^2)=49(x^2+y^2)$%, откуда следует, что $%a^2+b^2$% или $%c^2+d^2$% делится на 7.

Заметим, что квадрат целого числа при делении на 7 может давать в остатке только 0, 1, 2, 4. Сумма двух остатков делится на 7 только если оба они нулевые. Следовательно, или $%a$% и $%b$% оба кратны 7, и тогда $%\overline{a+bi}=\bar0$%, или $%c$% и $%d$% оба кратны 7, и тогда $%\overline{c+di}=\bar0$%.

Аналогичный факт верен для всех простых чисел вида $%4k+3$%.

ссылка

отвечен 24 Май '15 23:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×748
×30

задан
24 Май '15 22:53

показан
279 раз

обновлен
24 Май '15 23:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru