Пусть даны простые $%p$% и $%q$%, такие что $%p < q$%, и группа $%G$% порядка $%pq$%. Доказать, что в $%G$% нет двух различных подгрупп порядка $%q$%.

задан 25 Май '15 0:28

10|600 символов нужно символов осталось
3

Есть такое полезное утверждение, которое имеет смысл доказать в качестве вспомогательного.

Пусть $%G$% -- конечная группа порядка $%n$%, и пусть $%p$% -- минимальный простой делитель числа $%n$%. Тогда, если в $%G$% имеется подгруппа $%H$% индекса $%p$%, то она является нормальной.

Доказательство. Рассмотрим правые смежные классы $%G$% по $%H$%: это $%H=Hg_1$%, ... , $%Hg_p$%. Каждому элементу $%g\in G$% сопоставим подстановку на множестве этих смежных классов, задаваемую правилом $%Hg_i\mapsto Hg_ig$%. Этим задано отображение $%\phi\colon G\to S_p$% в симметрическую группу. Оно является гомоморфизмом, так как после домножений справа на элементы $%g$% и $%h$% получается домножение на $%gh$%.

Пусть $%N$% -- ядро $%\phi$%. Достаточно доказать, что $%N=H$%. Всегда имеет место включение $%N\subseteq H$%, потому что элемент $%g\in N$% индуцирует тождественную подстановку, при которой $%Hg=H$%, откуда $%g\in H$%.

Число $%|G/N|$% делит $%p!$%, так как по теореме о гомоморфизмах $%G/N$% изоморфна подгруппе в $%S_p$%. Кроме того, $%|H|$% делится на $%|N|$% по теореме Лагранжа, то есть $%|G:H|=p$% делит $%|G:N|=|G/N|$%. Помимо этого, $%|G/N|$% делит $%|G|$%. Из сказанного следует, что $%|G/N|=p$%. Действительно, у чисел $%|G|$% и $%p!$% наибольший общий делитель равен $%p$%, так как все остальные числа в разложении $%p!$% на простые множители не делят $%|G|$% ввиду минимальности $%p$%. Таким образом, $%|G:N|=p=|G:H|$%, и с учётом включения, $%N=H$%.

Наличие в $%G$% подгрупп порядка $%q$% следует из общего факта, но его здесь можно не привлекать, поскольку в условии речь идёт только о единственности. Предположим, что имеется какая-то ещё подгруппа $%K$% порядка $%q$%. При естественном гомоморфизме $%G\to G/H$% она отображается в группу порядка $%p$%, то есть порядок образа делит как $%p$%, так и $%q$%. Ввиду $%p\ne q$%, такое возможно лишь в случае, если образ $%K$% состоит из единицы. Но это значит, что $%K$% содержится в ядре, то есть в $%H$%. Ввиду совпадения порядков этих подгрупп, они сами должны совпадать.

ссылка

отвечен 25 Май '15 0:55

изменен 26 Май '15 20:31

@falcao, я правильно понимаю, что в первоначальном условии задачи ошибка и вместо $%p < q$% должно быть $%q < p$%? И почему порядок образа $%K$% делит $%q$%?

(26 Май '15 0:22) Poncho

@Poncho: ошибки нет. Подгруппа имеет порядок q, а её индекс равен p, где p -- наименьший простой делитель. В обратную сторону это верно уже не будет: подгрупп порядка p может быть много. Примером может служить группа $%S_3$%.

Если есть гомоморфизм группы K на группу L, то порядок L равен порядку K/N, где N -- ядро. То, что число $%|K|/|N|$% делит $%|K|$%, очевидно. То есть не только порядок подгруппы, но и порядок гомоморфного образа делит порядок группы.

(26 Май '15 0:53) falcao

Всё, спасибо, разобрался.
В решении небольшая опечатка. Должно быть: "Тогда, если в $%G$% имеется подгруппа $%H$% индекса $%p$%, то она является нормальной".

(26 Май '15 20:25) Poncho

@Poncho: да, конечно, это опечатка. Сейчас исправлю.

(26 Май '15 20:31) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×760
×341

задан
25 Май '15 0:28

показан
615 раз

обновлен
26 Май '15 20:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru