параметр - Найти все $%a$%, при которых решение системы единственно

Многочлен от двух переменных разложим на множители: $%y^2-xy-4y+2x+4=(y-2)(y-x-2)$%, что легко увидеть из соображений теоремы Виета. Любое решение $%(x,y)$% данной системы должно удовлетворять ограничениям $%x\ge-4$% и $%y < 5$%. Рассмотрим три типа решений.

1) $%x=-4$%. При этом $%y=a-x=a+4 < 5$%, то есть решение $%(-4;a+4)$% имеется при $%a < 1$%.

2) $%y=2$%. Здесь $%x=a-y=a-2\ge-4$%. Решение $%(a-2;2)$% имеется при $%a\ge-2$%.

3) $%y=x+2$%. Здесь $%a-x=x+2$%, откуда $%x=\frac{a-2}2\ge-4$%, и $%y=\frac{a+2}2 < 5$%, то есть решение $%(\frac{a-2}2;\frac{a+2}2)$% имеется при $%-6\le a < 8$%.

Выявим совпадения между разными типами решений. В пунктах 1 и 2 решения совпадают при $%a=-2$% и дают $%(-4;2)$%, но для этого значения в пункте получается ещё одно решение $%(-2;0)$%. Следовательно, $%a=-2$% не подходит.

Решения из пунктов 1 и 3 совпадают при $%a=-6$%, где получается $%(-4;-2)$%. Второй пункт не даёт новых решений для этого случая, то есть $%a=-6$% подходит.

Наконец, пункты 2 и 3 дают общее решение $%(0;2)$% при $%a=2$%. Это значение параметра подходит, поскольку пункт 1 других решений не даёт.

Таким образом, рассматривая интервалы и их концевые точки, мы приходим к такому ответу: $%a\in(-\infty;-6]\cup\{2\}\cup[8;+\infty)$%.