Биссектриса $%AE$% угла $%A$% делит четырёхугольник $%ABCD$% на равнобедренный треугольник $%ABE (AB = BE)$% и ромб $%AECD$%. Радиус круга, описанного около треугольника $%ECD$%, в $%1,5$% раза больше радиуса круга, вписанного в треугольник $%ABE$%. Найдите отношение периметров треугольников $%ECD$% и $%ABE$%.

задан 25 Май '15 14:40

изменен 25 Май '15 16:36

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

@serg55, а эта задача ( в отличие от другой Вашей планиметрии =)) "чисто техническая", и даже рисунок не очень-то и нужен.. ( но пусть будет ) alt text

Да, исходный 4-угольник $%ABCD$% будет трапецией ( потому что: если угол $%\angle A = 2\alpha$%, и $%AE$% - биссектриса, то $%\angle BAE = \angle EAD = \alpha$%, и так как треуг-к $%BAE$% - равнобедренный ( $%AB = BE$% ), то и $%\angle BEA = \alpha$%, и так как $%\angle BEA = \angle EAD$%, то $%BE$% параллельна $%AD$% ). Только здесь даже и это не нужно =))

( Начало решения ). Пусть угол $%\angle A = 2\alpha$%, то есть $%\angle BAE = \angle EAD = \alpha$%, и пусть сторона ромба $%ADCE$% равна $%x$%.
Треуг-к $%ECD$% - равнобедренный со сторонами $%EC = CD = x$% и углом между ними $%\alpha$% ( и углы $%\angle DEC = \angle EDC = 90 - \alpha/2$% ). Радиус Описанной окружности ( по теореме синусов ): $%2\cdot R_{ECD} = \frac{x}{sin(90 - \alpha/2)}$%, то есть $%R = \frac{x}{2\cdot cos \alpha}$%.
Треуг-к $%ABE$% - равнобедренный с основанием $%AE = x$% и с двумя углами $%\alpha%$% при основании; если $%J$% - центр Вписанной окружности ( на рисунке забыла обозначить точку $%J$% ), то $%EJ$% - биссектриса, и $%\angle BEJ = JEA = \alpha/2$%, и тогда $%\frac{r}{x/2} = tg(\alpha/2)$%, то есть радиус Вписанной окружности $%r_{ABE} = \frac{x\cdot tg(\alpha/2)}{2}= \frac{x\cdot sin(\alpha/2)}{2\cdot cos ( \alpha/2)}$%.
Условие $%R_{ECD} = 1,5\cdot r_{ABE}$% означает, что $%\frac{x}{2\cdot cos(\alpha/2)} = \frac{3}{2}\cdot \frac {x\cdot sin(\alpha/2)}{2\cdot cos ( \alpha/2)}$%, откуда $%sin(\alpha/2) = \frac{2}{3}$%.
В треуг-ке $%ECD$% получаем: $%ED = 2x\cdot sin(\alpha/2) = 2x\cdot 2/3 = 4x/3$%, и периметр $%P_{ECD} = x + x + 4x/3 = 10x/3$%.
В треуг-ке $%ABE$% сторона $%AB = \frac{x/2}{cos(\alpha)}$%. И $%cos(\alpha)$% ( "полного" угла, а не половинки ) можно найти: $%cos(\alpha) = 1 - 2\cdot sin^2(\alpha/2) = 1 - 2\cdot 4/9 = 1/9$%. То есть $%AB = \frac{x/2}{1/9} = \frac{9x}{2}$%. То есть периметр $%P_{ABE} = 9x/2 + 9x/2 + x = 10x$%.
И отношение периметров равно $%1/3$%.
Арифметику проверьте =)) я не очень внимательно считала - могла и наврать.. =)

ссылка

отвечен 29 Май '15 20:24

изменен 29 Май '15 20:25

@ЛисаА: Огромное спасибо, Вы все правильно посчитали. У меня получилось также. С уважением.

(29 Май '15 20:30) serg55
1

@serg55, пожалуйста) правда, я не все время следила за сайтом - не увидела задачу сразу, когда Вы ее вывели..

(29 Май '15 21:43) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×390
×61
×16

задан
25 Май '15 14:40

показан
832 раза

обновлен
29 Май '15 21:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru