Дан куб $%ABCDA_1B_1C_1D_1$%. Точка $%E$% - середина ребра $%DC$%, точка $%F$% - середина ребра $%BB_1$%. Какую часть объёма куба занимает объём пирамиды $%AFED_1$%?

задан 25 Май '15 16:31

изменен 25 Май '15 16:39

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1
  1. Ввела прямоугольную систему координат, посчитала объем пирамиды - получила ответ к задаче 5:24. 2. Пусть сторона куба равна 2. Тогда $%D_1E=AE=AF=\sqrt 5; D_1A=2\sqrt2; D_1F=3, FE=\sqrt6$%. Изобразим пирамиду так, чтобы $%D_1FE$% было основанием, а $%A$% вершиной (например). Опустим из вершины $%A$% высоту $%AH$%, изобразим (внизу) в основании пeрпендикуляры из точки $%H$% к сторонам основания, например, к $%D_1F - HM$%, a к $%FE - HK$%. Тогда по ТТП $%AM, AK$% - высоты граней $%D_1AF, FAE$%. 3. Найдем площадь основания и потом рассмотрим подробно эти две боковые грани. В основании треугольник со сторонами $%3; \sqrt 5, \sqrt 6$%. По теореме косинусов найдем косинус угла $%D_1FE$%,получим $%cosD_1FE=\frac 5 {3\sqrt6}$%, тогда синус (из основного тригонометрического тождества) $%sinD_1FE=\frac {\sqrt{29}} {3\sqrt6}$%, и площадь основания получится $%S=\frac 1 2 \cdot 3\cdot \sqrt 6 \cdot \frac {\sqrt{29}} {3\sqrt 6}=\frac{\sqrt{29}} 2$%. 4. Рассмотрим боковую грань$%D_1AF$%, найдем высоту грани $%AM$%: по теореме косинусов найдем косинус угла $%A$%, получим $%cos A=\frac 1 {\sqrt {10}}$%, откуда $%sin A=\frac 3 {\sqrt {10}}$%, площадь треугольника $%S=\frac 1 2 \cdot 2 \sqrt2 \cdot 5 \cdot \frac 3 {\sqrt {10}}=3$%, высота соответственно $%AM=\frac {2S} {D_1F}=2$%. Тогда из $%MFA: MF=\sqrt{5-4}=1$%. В боковой грани (треугольник равнобедреный) $%AFE: KE=FK=\frac {\sqrt 6}2, AK=\sqrt{AE^2-KE^2}=\sqrt{3.5}$%. 5. Вырисуем основание детально, обозначим $%HK=x$%, тогда по теореме Пифагора $%FH=\sqrt{1.5+x^2}$%, $%MF=1$%(уже посчитано), по Пифагору $%MH=\sqrt{0.5+x^2}$%. Обозначим угол $%MFH=\alpha,HFK=\beta$%, из прямоугольных треугольников $%cos\alpha=\frac 1 {\sqrt{1.5+x^2}}, sin\alpha=\frac {\sqrt{0.5+x^2}} {\sqrt{1.5+x^2}}$%. $%cos\beta=\frac {\sqrt 6} {2\sqrt{1.5+x^2}}, sin\beta=\frac x {\sqrt{1.5+x^2}}$%. Косинус угла $%F=\alpha+\beta$% мы считали раньше (в пункте 3). Запишем косинус суммы : $%\frac 5 {3\sqrt6}= \frac 1 {\sqrt{1.5+x^2}} \cdot \frac {\sqrt 6}{2 \sqrt{1.5+x^2}}-\frac {\sqrt{0.5+x^2}} {\sqrt{1.5+x^2}} \cdot \frac x {\sqrt{1.5+x^2}}$%. После раскрытия пропорции получим $%1.5-5x^2=3\sqrt 6 x \sqrt{0.5+x^2}$%. Возводим в квадрат, решаем биквадратное уравнение, получаем $%x^2=\frac 3 {58}$%, тогда высота пирамиды по теореме Пифагора $%\sqrt{AK^2-x^2}=\frac {10}{\sqrt{29}}$%. Объем пирамиды ( с учетом площади основания и высоты ) равен $%\frac 5 3$%. Объем куба $%2\cdot 2 \cdot 2=8$%. Поделив получим $%\frac 5 {24}$% ответ.
ссылка

отвечен 25 Май '15 18:17

изменен 25 Май '15 20:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×99
×78
×43

задан
25 Май '15 16:31

показан
731 раз

обновлен
25 Май '15 22:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru