Доказать: $%A \in C^{n,n}$%, тогда существует унитарная матрица $%Q$%, такая что $%A^\ast=QAQ$%.

задан 25 Май '15 19:43

изменен 25 Май '15 23:04

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Яська: откорректируйте, пожалуйста, обозначения. Что значит "A принадлежит Cn,n"? Если где-то есть верхние или нижние индексы, или скобки, то они должны быть. Что такое Cn,n -- это вообще не понятно.

(25 Май '15 20:01) falcao

@Яська: проще, к сожалению, не стало. Вы можете объяснить словами, что такое C с индексами? Какое множество матриц имеется в виду?

(25 Май '15 21:10) falcao

Это значит, что матрица комплексная (т.е. ее элементы принадлежат комплексному пространству) и притом эта матрица квадратная. $%n$% - количество строк и количество столбцов.

(25 Май '15 21:15) Яська

@falcao, у Вас есть идеи?

(25 Май '15 22:37) Яська

@Яська: да, я понял вопрос -- как раз собирался вскоре написать ответ.

(25 Май '15 22:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Есть известная теорема, доказываемая в курсах линейной алгебры: комплекснозначную матрицу $%A$% можно представить в виде $%A=HU$%, где $%H$% самосопряжённая (эрмитова), а $%U$% унитарная. Вот ссылка на курс лекций И.М.Гельфанда. Там рассматриватся случай невырожденной матрицы $%A$%, чтобы установить несколько более сильный факт, но для вырожденного случая то же самое доказательство проходит.

Отсюда следует то, что нужно: полагаем $%Q=U^{\ast}$% (она тоже унитарна), и тогда ввиду $%H=H^{\ast}$% и $%UU^{\ast}=E$% получается $%A^{\ast}=(HU)^{\ast}=U^{\ast}H^{\ast}=U^{\ast}H=U^{\ast}HUU^{\ast}=QAQ$%.

ссылка

отвечен 25 Май '15 23:17

Спасибо!!!

(26 Май '15 0:08) Яська
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×98

задан
25 Май '15 19:43

показан
286 раз

обновлен
26 Май '15 10:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru