Есть $%f : R \to S$% сюрьективный гомоморфизм колец с единицами, и нужно доказать, что единица в $%R$% перейдет в единицу $%S$%. Можно ли доказать таким образом? $%1_R$% означает единица из $%R$% и аналогично с $%S$%.

$%f(1_R) = f(1_R \cdot 1_R) = f(1_R) \cdot f(1_R)$%.
Тогда $%f(1_R) \cdot (f(1_R)-1_S)=0$%, $%f(1_R)$% не может быть равным нулю, так как иначе не выполняется сюрьективность. Тогда $%f(1_R)=1_S$%.

задан 25 Май '15 21:15

изменен 25 Май '15 23:09

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Так рассуждать нельзя. У Вас используется тот факт, что если произведение элементов кольца равно нулю, то хотя бы один сомножитель равен нулю. Представим себе, что речь о кольце матриц. Тогда это уже не так.

Кроме того, лучше считать, что нам пока не известно наличие единицы в $%S$%. В общем случае кольцо может не обладать единицей, и имеет смысл доказать, что в данном случае оно ей обладает, и единицей будет именно $%f(1_R)$%.

Доказательство здесь простое. Надо проверить, что $%f(1_R)$% обладает свойством единицы кольца $%S$%, то есть $%f(1_R)y=y=yf(1_R)$% для любого $%y\in S$%.

Поскольку гомоморфизм сюръективен, для любого $%y\in S$% найдётся $%x\in R$% такой, что $%y=f(x)$%. Тогда $%f(1_R)y=f(1_R)f(x)=f(1_Rx)=f(x)=y$%, и аналогично для умножения справа.

Здесь есть одна маленькая тонкость. Мы доказали, что $%f(1_R)$% является нейтральным элементом кольца $%S$% относительно умножения. Но когда речь идёт о кольцах с единицей, то добавляется условие, что этот элемент не должен быть равен нулевому. В кольце, состоящем из одного нуля, он "по совместительству" будет нейтральным относительно умножения, но единицей кольца мы его не считаем.

Поэтому уместно добавить, что кольцо $%S$% ненулевое -- если мы говорим о "настоящей" единице кольца $%S$%.

ссылка

отвечен 25 Май '15 21:30

@falcao В данном случае в условии дано то, что кольца с единицей, тогда в любом случае нужно проверять то, что единица в S обладает свойствами.

(25 Май '15 21:34) Leva319

@Leva319: если сказать в условии, что кольца с единицами, это будет почти то же самое. Но если не предполагать наличие единицы в $%S$%, считая его всего лишь ненулевым, то можно доказать чуть более сильный факт.

(25 Май '15 21:39) falcao

@falcao Понял, то есть теперь надо доказать, что этот элемент $%f(1_R) = 1_S$% не равен $%0_S$%, и доказательство завершено.

(25 Май '15 21:41) Leva319

@Leva319: основная часть -- это доказательство того, что $%f(1_R)$% есть нейтральный элемент кольца $%S$% относительно умножения. Если уже дано, что $%S$% обладает единицей, то равенство $%f(1_R)=1_S$% следует из факта единственности нейтрального элемента. Если считать, что это не дано, то достаточно сослаться на простой факт, что в ненулевом кольце единица не равна нулю. (Берём ненулевой элемент $%y$%, умножаем на единицу, получаем $%y$%. А при умножении на ноль будет ноль, в силу известных свойств колец.)

(25 Май '15 22:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,705

задан
25 Май '15 21:15

показан
350 раз

обновлен
25 Май '15 22:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru