Найти делители нуля в кольце матриц 2х2 с вещественными коэффициентами

задан 25 Май '15 22:45

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%AB=0$%, где $%A$%, $%B$% -- ненулевые матрицы. Тогда ни одна из них не может быть обратимой. Отсюда следует, что $%\det A=\det B=0$%.

Обратно: пусть $%A$% -- ненулевая вырожденная матрица. Тогда однородная система с матрицей $%A$% имеет ненулевое решение. Пусть это столбец $%(x_1,x_2)$%. Тогда матрицу $%B$% можно сформировать из такого столбца и нулевого столбца, или из двух столбцов, пропорциональных данному, или как-то ещё. По построению, $%AB=0$% будет нулевой матрицей, и при этом $%B$% ненулевая. Значит, любая вырожденная (ненулевая) матрица может рассматриваться как делитель нуля в этом кольце.

Аналогично можно добиться того, чтобы было верно равенство $%CA=0$% для некоторой ненулевой матрицы $%C$%. При этом не обязательно $%B=C$%.

При желании, можно сказанное чуть усилить.

ссылка

отвечен 25 Май '15 22:59

@falcao то есть получается не нужно решать систему $%AB = 0$%, достаточно просто найти какое то $%B$%, этим и будет доказано "обратно".

(25 Май '15 23:02) Leva319

@Leva319: да, так и есть, а обоснование заключается в том, что можно найти ненулевое решение. Это следует из вырожденности.

(25 Май '15 23:08) falcao

@falcao да, это понятно, спасибо.

(25 Май '15 23:11) Leva319
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,151
×118

задан
25 Май '15 22:45

показан
4370 раз

обновлен
25 Май '15 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru