Докажите, что всякий гомоморфизм поля в кольцо является или нулевым, или изоморфным отображением на некоторое подполе

задан 25 Май '15 22:58

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим ядро такого гомоморфизма. Это идеал кольца, являющегося полем. Если этот идеал нулевой, то факторкольцо по нему изоморфно самому полю. Это даёт изоморфизм на подполе.

Если идеал ненулевой, то в нём имеется ненулевой элемент, который в поле обратим. Тогда после домножения на обратный, мы получим единицу поля, принадлежащую идеалу. А из неё путём домножения можно получить любой заданный элемент. В этом случае идеал совпадает со всем полем, и факторкольцо по нему нулевое, то есть гомоморфизм всё отображает в ноль.

ссылка

отвечен 25 Май '15 23:05

@falcao можете чуть поподробнее расписать рассуждения?

(25 Май '15 23:55) Leva319

@Leva319: здесь всё написано достаточно подробно, хотя и без формул. Будет проще, если Вы скажете, какие переходы не до конца понятны, и тогда я поясню. Тут всё так или иначе прямо из определений следует.

(26 Май '15 0:00) falcao

@falcao почему ядро гомоморфизма будет идеалом кольца, который будет полем. Нулевой идеал - это идеал без элементов? И какой изоморфизм будет между факторкольцом и самим полем?

(26 Май '15 0:07) Leva319

@Leva319: то, что ядро гомоморфизма колец является идеалом -- это один из базовых фактов. Проверяется очень просто: если f(x)=0 и f(y)=0, то f(x-y)=0. Кроме того, f(xz)=f(x)f(z)=0f(z)=0 для любого z. Отсюда следует, что ядро замкнуто относительно разности, а также домножения на произвольные элементы. Значит, это идеал.

Поле -- частный случай кольца, для него то же самое верно.

Далее, если идеал I нулевой, то это значит, что он состоит только из нуля (пустым он быть не может). Тогда факторкольцо P/(0) изоморфно P, так как это фактически одно и то же: x и x+(0) отличаются только обозначением.

(26 Май '15 0:47) falcao

@falcao а почему это дает изоморфизм на подполе?

(26 Май '15 1:00) Leva319

@Leva319: P изоморфно P/(0), а факторкольцо по ядру изоморфно образу по теореме о гомоморфизмах колец. Образ гомоморфизма является подкольцом того кольца, в которое мы отображаем. Он изоморфен полю P. Подкольцо, изоморфное полю, называют подполем.

(26 Май '15 1:04) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,611

задан
25 Май '15 22:58

показан
1015 раз

обновлен
26 Май '15 1:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru