Для вещественной матрицы $$A = \begin{bmatrix}2 & -9 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}$$ найти такую ортогональную матрицу $%C$%, что матрица $%B = C^{-1} \cdot A \cdot C$% верхнетреугольна.

задан 26 Май '15 14:09

изменен 26 Май '15 17:30

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Найдём характеристический многочлен матрицы. Он имеет вид $%(\lambda+1)^2=0$%. Собственное значение одно: $%\lambda=-1$%. Ему соответствует собственный вектор $%(3;1)$%, рассматриваемый как столбец. Его надо сделать первым вектором ортонормированного базиса, разделив на его длину. Это даст $%(\frac3{\sqrt{10}};\frac1{\sqrt{10}})$%. Второй вектор базиса также должен иметь единичную длину, и при этом быть ортогональным первому. Если первый вектор был $%(a,b)$%, то в качестве второго годится $%(-b,a)$%. В нашем случае это будет $%(-\frac1{\sqrt{10}};\frac3{\sqrt{10}})$%. Из этих двух столбцов составим ортогональную матрицу $%C$%. Заметим, что обратная матрица здесь будет равна транспонированной.

Далее находим матрицу $%B$%, вынося у двух матриц множители $%\frac1{\sqrt{10}}$%. Получается $$B=C^{-1}AC=\frac1{10}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -9\\ 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & -10 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

ссылка

отвечен 26 Май '15 18:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×466

задан
26 Май '15 14:09

показан
399 раз

обновлен
26 Май '15 18:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru