Пусть $%G = (Z, +) = \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$%, $%H = 2Z = \{...,-2,0,2,...\}$%
$%gH = \{g + 2m | m \ из \ N, \ для \ всех \ g \ из \ G\}$% - это получается множество всех смежных классов, то есть факторгруппа $%G/H$%.
Почему это $%Z2$% (вычеты по модулю два)?
И можно ли привести пример еще построения $%G/H$% (факторгруппы) и также с факторкольцами.
Спасибо.

задан 26 Май '15 20:31

изменен 27 Май '15 13:35

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Слово "факторгруппа" пишется слитно (есть ещё вариант написания через дефис).

Поскольку рассматривается группа с операцией сложения, то вместо $%gH$% здесь надо писать $%g+H$%. Смежных классов тут будет два: это $%0+H=H$% (все чётные числа), и $%1+H$% (все нечётные). Любой другой смежный класс совпадает с одним из этих двух: если $%g$% чётно, то $%g+H=H$%, а если $%g$% нечётно, то $%g+H=1+H$%.

Смежные классы складываются по правилу $%(g_1+H)+(g_2+H)=(g_1+g_2)+H$%. Если $%g_1$%, $%g_2$% принимают значение 0 и 1, то сложение будет обычным кроме случая $%g_1=g_2=1$%. Здесь получится $%2+H=H=0+H$%, что соответствует сложению по модулю 2.

Этот пример обобщается до вычетов по модулю $%n$% для любого значения $%n\ge2$%. Это пример "базовый", и его имеет смысл подробно разобрать. Прежде всего, в один смежный класс попадают элементы, дающие один и тот же остаток при делении на $%n$%. Их столько же, сколько остатков, то есть $%n$%. Обозначить их можно в виде $%\bar0$%, $%\bar1$%, ... , $%\overline{n-1}$%. Операция сложения устроена так:чтобы сложить $%\bar{x}$% и $%\bar{y}$%, надо сложить $%x$% и $%y$%, и рассмотреть остаток $%z$% от деления суммы $%x+y$% на $%n$%. Получится, что $%\bar{x}+\bar{y}=\bar{z}$%.

Этот же пример можно использовать и для построения факторкольца. Рассматриваем $%\mathbb Z$% как кольцо. Легко видеть, что $%I=n\mathbb Z$% есть идеал этого кольца. Полезно рассмотреть какие-нибудь случаи типа $%n=5$% и $%n=6$%, составив для элементов $%\bar0$%, $%\bar1$%, ... , $%\overline{n-1}$% таблицу сложения и таблицу умножения в кольце. При составлении таблиц можно опускать "чёрточки" сверху. Правила здесь простые: скажем, $%4+3=2$% по модулю 5, или $%3\cdot2=0$% по модулю 6.

Вообще, примеров факторгрупп и факторколец можно привести очень много, но более содержательные из них получаются с использованием теорем о гомоморфизмах. Например, можно рассмотреть группу $%G$% невырожденных матриц порядка $%n$%, и в качестве $%H$% взять подгруппу матриц с определителем 1. Далее можно проверить, что $%H$% нормальна в $%G$%, а факторгруппа $%G/H$% изоморфна группе $%\mathbb R^{\ast}=\mathbb R\setminus\{0\}$% относительно умножения.

Можно также рассмотреть примеры факторгрупп циклических групп. Скажем, взять группу $%G$% порядка 20 с образующим $%a$%, и рассмотреть подгруппу $%H$%, порождённую $%a^5$%. Далее выписать вручную все смежные классы и составить таблицу их умножения.

Многие примеры факторколец рассматривались на форуме совсем недавно -- можно поискать по "тегам". В частности, там были факторкольца для колец многочленов по тем или иным идеалам.

ссылка

отвечен 26 Май '15 21:16

@falcao вы сразу построили смежные классы, получается, что изначально подгруппа $%H$% - это просто все четные числа, а потом мы строим смежный класс, формально мы строим для каждого $%g$% из $%G$%, но так получается, что они будут соответственно совпадать при четности/нечетности $%g$%. А вообще когда дана уже факторгруппа $%G/H$%, чтобы понять, какие в нее элементы входят, нужно построить смежные классы, учитывая операцию в группе $%G$%, а потом уже пытаться строить изоморфизм в что-то более удобное.

(26 Май '15 21:34) Leva319

@Leva319: по сути дела, основных подходов два. Или мы вручную строим смежные классы и смотрим, что с ними происходит при операциях. Или применяем теорему о гомоморфизмах, то есть как бы заранее угадываем результат, под него подбираем подходящий гомоморфизм, а потом проверяем, что его ядро совпадает с подгруппой (или идеалом). Классический пример -- факторкольцо $%\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb C$%. Гомоморфизм каждому многочлену сопоставляет его значение в точке $%i$%.

(26 Май '15 21:38) falcao

@falcao а без помощи гомоморфизма можно понять, какик элементы в $%\mathbb R[x]/(x^2+1)$%, не зная заранее, что по сути это комплексные числа. То есть начать строить смежные классы и заметить это?

(26 Май '15 21:41) Leva319

@Leva319: можно, но это будет фактически то же самое. Смежные классы однозначно задаются остатками от деления на $%x^2+1$%. Это многочлены $%a+bx$%. Складываются они обычным способом, а умножение устроено так: перемножаем многочлены, а потом берём остаток. Когда возникает $%x^2$%, то он при этом заменяется на $%-1$%. А это и есть правило умножения комплексных чисел.

(26 Май '15 21:51) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,145
×43
×23

задан
26 Май '15 20:31

показан
1011 раз

обновлен
27 Май '15 11:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru