Исследовать на условный экстремум
$$ U=X^2+Y^2+Z^2 , X^2/4+y^2+Z^2=1 , X+Y+Z=0 $$

задан 27 Май '15 0:19

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь можно применить метод Лагранжа, но можно обойтись и элементарными средствами.

Прежде всего, $%U=\frac34x^2+1$%, поэтому можно исследовать на экстремум функцию $%x^2$% при условии $%x^2/4+y^2+(x+y)^2=\frac54x^2+2y^2+2xy=1$%, где $%z$% выражено через $%x$% и $%y$%.

Данное условие можно рассматривать как квадратное уравнение относительно $%y$% с параметром $%x$%, а именно, $%y^2+xy+\frac58x^2-\frac12=0$%. Дискриминант равен $%D=x^2-4(\frac58x^2-1)=2-\frac32x^2$%. Корень относительно $%y$% имеется при $%D\ge0$%, то есть $%x^2\le\frac43$%. Отсюда ясно, что наибольшее значение $%U$% имеет при $%x^2=\frac43$%, и оно равно $%U=\frac34x^2+1=2$%, а наименьшее равно $%U=1$% при $%x=0$%.

Осталось найти сами точки экстремума. Если $%x=0$%, то $%y^2=\frac12$%. Получаются две точки $%(x,y,z)=(0;\frac1{\sqrt2};-\frac1{\sqrt2})$% и $%(x,y,z)=(0;-\frac1{\sqrt2};\frac1{\sqrt2})$%. Это точки минимума. Теперь пусть $%x=\pm\frac2{\sqrt3}$%. Тогда $%y=\mp\frac1{\sqrt3}$%, и получаются две точки минимума $%(x,y,z)=(\frac2{\sqrt3};-\frac1{\sqrt3};-\frac1{\sqrt3})$% и $%(x,y,z)=(-\frac2{\sqrt3};\frac1{\sqrt3};\frac1{\sqrt3})$%.

В принципе возможно, что метод Лагранжа даст какие-то ещё значения локального экстремума, но я ограничусь нахождением точек наибольшего и наименьшего значения.

ссылка

отвечен 27 Май '15 0:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,053

задан
27 Май '15 0:19

показан
530 раз

обновлен
27 Май '15 13:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru