|
Найти все квадратичные формы на евклидовой плоскости $%R^2$%, неподвижные относительно замены $%x \to Cx$%, где $$С = \frac {1}{3} \cdot \begin{bmatrix}6 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix},$$ а также их канонический вид в главных осях. задан 27 Май '15 7:09 
donki |
|
Я сейчас посчитал, и у меня получилось, что формы пропорциональны $%-3x^2+2xy+5y^2$%. Линейное преобразование имеет вид $%(x,y)\mapsto(2x+5y/3,x+4y/3)$%. Берём форму $%ax^2+bxy+cy^2$%. Подставляем в неё преобразованные координаты: $%a(2x+5y/3)^2+b(2x+5y/3)(x+4y/3)+c(x+4y/3)^2$%. Раскрываем скобки: $%(4a+2b+c)x^2+\frac13(20a+13b+8c)xy+\frac19(25a+20b+16c)y^2$%. Приравниваем к исходной форме, получая систему из трёх уравнений: $%3a+2b+c=0$%; $%10a+5b+4c=0$%; $%25a+20b+7c=0$%. Решаем методом Гаусса, получаем общее решение $%a=-3b/2$%, $%c=5b/2$%, где $%b$% -- свободная неизвестная. отвечен 28 Май '15 20:01 
falcao |
Можно попробовать решить "в лоб", то есть выписать квадратичную форму в буквенном виде с неопределёнными коэффициентами, а потом сделать замену и сравнить.
@falcao: Делаю замену и приравниваю два канонических вида квадратичных форм в главных осях, пытаюсь выразить элементы на главной диагонали матрицы A, но они сокращаются и ничего не выходит. Не могли бы вы поподробней расписать решение?