Дана точка $%M_0$% с положительными координатами $%(X_0, Y_0, Z_0 )$%, $%(X_0>0,Y_0>0,Z_0>0)$%.
Через точку $%M_0$% проведена плоскость.
Найти наименьший возможный объем треугольной пирамиды, ограниченной этой плоскостью и координатными плоскостями.

задан 27 Май '15 11:12

изменен 27 Май '15 16:32

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@daniel, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(28 Май '15 11:38) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим на осях координат точки $%(a,0,0)$%, $%(0,b,0)$%, $%(0,0,c)$%, где $%a,b,c > 0$%. Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, имеет вид $%\frac{x}a+\frac{y}b+\frac{z}c=1$%. Объём соответствующей пирамиды равен $%\frac16abc$%.

Плоскость проходит через заданную точку $%(x_0,y_0,z_0)$%, если $%\frac{x_0}a+\frac{y_0}b+\frac{z_0}c=1$%. При этом условии мы хотим минимизировать $%abc$%, что равносильно максимизации величины $%\frac{x_0y_0z_0}{abc}$%.

Из неравенства о среднем легко следует, что если сумма положительных чисел постоянна, то произведение их достигает максимума, когда слагаемые попарно равны. В нашем случае это даёт $%\frac{x_0}a=\frac{y_0}b=\frac{z_0}c=\frac13$%. Таким образом, $%a=3x_0$%, $%b=3y_0$%, $%c=3z_0$%, и $%V_{min}=\frac16abc=\frac92x_0y_0z_0$%.

ссылка

отвечен 28 Май '15 0:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×100

задан
27 Май '15 11:12

показан
576 раз

обновлен
28 Май '15 11:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru