Найти область сходимости ряда:

$$\sum\limits_n^\infty \frac {x^{3n}}{8^n(n^2+1)}$$

задан 27 Май '15 19:12

изменен 27 Май '15 19:31

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

Примените формулу Коши - Адамара. Вообще, это простой пример применения формулы, и такие вещи лучше в учебниках смотреть.

(28 Май '15 0:06) falcao
1

$$a_n=\frac 1{8^n (n^2+1)}a_{n+1}= \frac 1{8^{n+1} ((n+1)^2+1) }$$ Находим $%R$%: $$R=|\frac {a_{n+1}}{a_n} |=\lim\limits_{n→∞} \left| \frac {\frac 1{8^{n+1} ((n+1)^2+1) }}{\frac 1{8^n (n^2+1)}} \right|=$$ $$=\lim\limits_{n→∞}\frac {8^n (n^2+1)}{8^{n+1} ((n+1)^2+1} $$ $$=\lim_{n→∞}\frac {8^n (n^2+1)}{8^n \cdot 8((n+1)^2+1) }=\frac 18$$

Значит область сходимости $%-\frac 18 < x < \frac 18$%

(28 Май '15 9:50) pavel87

У меня $%n=1$%, такой же ответ будет?

https://pp.vk.me/c624022/v624022535/37190/aDvZlK2UlGg.jpg

(28 Май '15 13:49) Borys Kavuza

@Borys Kavuza: n=1 -- это нижний предел суммирования. Это не имеет отношения к делу. Решение Вам уже написали, только там надо исправить неточности. Должно быть $%-8 < x^3 < 8$%, то есть $%-2 < x < 2$%. Концы интервала добавляются в область сходимости, так как ряд из $%1/(n^2+1)$% сходится.

(28 Май '15 18:31) falcao

Что именно надо исправить в решении?

(2 Июн '15 2:32) Borys Kavuza
1

@Borys Kavuza: исправить надо то, что формула даёт не R, а 1/R, то есть надо заменить левую часть. Получится 1/R=1/8, то есть R=8. Ряд здесь зависит от $%x^3$%, поэтому неравенство в конце имеет вид $%-8 < x^3 < 8$%. С учётом сходимости в концевых точках, ответ будет иметь вид $%x\in[-2;2]$%.

(2 Июн '15 2:39) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,573
×619

задан
27 Май '15 19:12

показан
397 раз

обновлен
2 Июн '15 2:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru