Линейное отображение $%A:R^2 \to R^3$% стандартных евклидовых пространств задано правилом $%(x_1,x_2)^T \to (7x_1-7x_2, x_1 -x_2, 10x_1 + 10x_2)^T$%. Найти такие вещественные константы $%a$% и $%b$%, что $% a \cdot||x-y|| \le ||Ax - Ay|| \le b \cdot||x-y||$%. Причем равенства достигаются.

задан 28 Май '15 14:30

изменен 28 Май '15 17:11

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Полагая $%z=x-y$% и $%||z||=1$%, получаем задачу нахождения максимума и минимума $%||Az||$% на единичной сфере. Квадрат нормы вектора $%Ax$% равен $%50(x_1-x_2)^2+100(x_1+x_2)^2$%, поэтому находим экстремумы функции $%f(x_1,x_2)=(x_1-x_2)^2+2(x_1+x_2)^2=3(x_1^2+x_2^2)+2x_1x_2$% на окружности $%x_1^2+x_2^2=1$%.

Ввиду неравенства о среднем, $%2x_1x_2\le x_1^2+x_2^2$%, поэтому $%f(x_1,x_2)\le4$%. Максимум достигается при $%x_1=x_2=\pm\frac1{\sqrt2}$%. При этом $%||Ax||^2=50f(x_1,x_2)\le200$%, то есть $%b=10\sqrt2$%.

Что касается минимума, применяем неравенство $%-2x_1x_2\le x_1^2+x_2^2$%, откуда $%2x_1x_2\ge-(x_1^2+x_2^2)$%, поэтому $%f(x_1,x_2)\ge2$%, то есть $%||Ax||^2\ge100$%. Это значит, что $%a=10$%, и минимум достигается на векторах $%(x_1,x_2)=\pm(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2})$%.

ссылка

отвечен 28 Май '15 18:12

@falcao: А можно ли было просто найти сингулярные числа отображения A и сказать, что наибольшее из них есть a, а наименьшее b?

(28 Май '15 20:07) donki

@donki: я предпочитаю не пользоваться какой-либо теорией, если можно всё посчитать непосредственно. К тому же эти числа здесь всё равно придётся сначала находить, и вычисления будут примерно такого же уровня сложности. Вы можете посчитать другим способом и сверить одно с другим.

(28 Май '15 20:11) falcao

@falcao: просто так вышло, что они как раз совпали, но как доказать, что они в любом случае подходят под решение к такому роду задачи, я пока не знаю. В любом случае спасибо за указанный метод.

(28 Май '15 20:17) donki

@donki: там на уровне "цифр" всё выглядит почти одинаково, то есть должно следовать, скорее всего, из общих фактов. Сами эти сингулярные числа возникают в процессе применения метода множителей Лагранжа. Можно или повторить эти вычисления, чтобы сверить, или обратиться к готовым формулировкам.

(28 Май '15 20:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×325
×64

задан
28 Май '15 14:30

показан
414 раз

обновлен
28 Май '15 20:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru