Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 3/10 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 5/12 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе 16 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе 16 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

задан 29 Май '15 17:09

изменен 29 Май '15 19:40

@Captcha: Что означает фраза "не более от общего числа" ?

(29 Май '15 17:13) EdwardTurJ

Наверное, не более чем их может быть всего вместе с девочками!

(29 Май '15 18:05) Captcha

@Captcha: в условии должны быть конкретные числа (в двух местах). Типа, "не более 3/7 от общего числа". Без этих данных условие не имеет смысла.

(29 Май '15 18:21) falcao

Да, прошу прощения. Почему-то не скопировалось.

(29 Май '15 19:40) Captcha

@Captcha: См. аналогичную задачу http://mathemforyou.weebly.com/part-c.html

(29 Май '15 20:13) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
1

Введём в рассмотрение шесть целых неотрицательных величин. Пусть $%a$%, $%b$%, $%c$% означает количество мальчиков, посетивших только театр; кино и театр; только кино соответственно. Также пусть $%d$%, $%e$%, $%f$% означают аналогичные значения для количества девочек. По условию, выполнены следующие два неравенства: $%a+b\le\frac3{10}(a+b+d+e)$%, $%b+c\le\frac5{12}(b+c+e+f)$%, которые мы запишем в виде $%7(a+b)\le3(d+e)$%, $%7(b+c)\le5(e+f)$%, и будем далее ими пользоваться.

а) Здесь спрашивается о том, могло ли быть $%a+b+c=8=d+e+f$%. Выражаем переменные $%b=8-a-c$% и $%e=8-d-f$%, подставляя их в неравенства. Получается $%7(8-c)\le3(8-f)$%, $%7(8-a)\le5(8-d)$%, что после упрощений даёт $%32+3f\le7c$% и $%16+5d\le7a$%. Складывая оба неравенства и учитывая, что $%a+c\le8$%, имеем $%48+5d+3f\le7(a+c)\le56$%, то есть $%5d+3f\le8$%. Естественно попробовать положить $%d=f=1$%, откуда $%e=6$%, а также $%a+c=8$%, $%b=0$%. Как следствие неравенств, получается $%a\le3$% и $%c\le5$%, поэтому мы полагаем $%a=3$%, $%c=5$%. Неравенства превращаются в равенства, и все условия оказываются выполнены.

б) Здесь мы снова исходим из неравенств, а также условия $%a+b+c+d+e+f=16$%. Нас интересует максимум величины $%a+b+c$%. Складывая неравенства, имеем $%7(a+2b+c)\le3d+8e+5f\le8(d+e+f)=8(16-(a+b+c))$%. Ввиду того, что левая часть не меньше $%7(a+b+c)$%, получается $%15(a+b+c)\le128$%, откуда следует, что $%a+b+c\le8$%. С учётом предыдущего пункта, максимальное число мальчиков равно $%8$%.

в) Здесь выполнены оба неравенства без дополнительных условий, и речь идёт о минимизации величины $%\frac{d+e+f}{a+b+c+d+e+f}$%, что равносильно максимизации обратной величины, равной $%1+\frac{a+b+c}{d+e+f}$%. Из предыдущего пункта ясно, что $%7(a+b+c)\le8(d+e+f)$%, то есть обратная величина не превосходит $%1+\frac87=\frac{15}7$%. Пример, когда это значение достигается, получается при $%b=0$% и $%d=f=0$%. Здесь $%7a\le3e$% и $%7c\le5e$%, и эти неравенства верны, если положить $%e=7$%, $%a=3$%, $%c=5$%. Девочек оказывается $%7$%, а мальчиков $%8$%, то есть доля девочек составляет $%\frac7{15}$%. Поэтому именно такое значение оказывается наименьшим, с учётом сказанного выше.

ссылка

отвечен 30 Май '15 10:26

Добрый день! Спасибо за четкое разъяснение задачи, только вот никак не могу понять эту строчку в решении б) 7(a+2b+c)≤3d+8e+5f≤8(d+e+f)=8(16−(a+b+c))7(a+2b+c)≤3d+8e+5f≤8(d+e+f)=8(16−(a+b+c)). В третьем неравенстве откуда взялся множитель 8?

(14 Ноя '17 11:43) Аля113

@Аля113: число 8 -- это максимум коэффициентов. То, что 3d+8e+5f<=8d+8e+8f, следует из того, что 3<=8 и 5<=8, а также неотрицательности всех рассматриваемых величин. Если взять разность правой и левой части, то получится 5d+3f>=0.

(14 Ноя '17 12:50) falcao

Спасибо, я так и предполагала, но хотелось уточнить

(14 Ноя '17 14:16) Аля113

Написала вам сообщение, оно куда-то пропало. Пожалуйста, разъясните еще один момент в пункте в: то есть обратная величина не превосходит 1+8/7=15/7?

(14 Ноя '17 15:13) Аля113

@Аля113: сообщения никуда не пропали -- см. чуть выше. Я просто перевёл их в разряд комментариев, каковыми они и являются.

Нам надо минимизировать величину D/(A+D), где A=a+b+c, D=d+e+f. Это равносильно тому, чтобы максимизировать обратную величину, то есть "перевёрнутую" дробь (A+D)/D=1+A/D. Именно о ней потом и идёт речь. Берётся неравенство 7A<=8D, то есть A/D<=8/7. Из него следует что эта величина не превосходит 1+8/7=15/7. Значит, максимум не больше 15/7, и тогда минимум исходной величины, до "перевёртывания", не меньше 7/15. Там по виду чисел смысл однозначно восстанавливается.

(14 Ноя '17 16:44) falcao

Спасибо огромное! Без вашей помощи не справилась бы!

(15 Ноя '17 15:01) Аля113
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,595

задан
29 Май '15 17:09

показан
2889 раз

обновлен
15 Ноя '17 16:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru