$%p$%-адическая норма удовлетворяет таким свойствам ($%x,\ y \in \mathbb Q_p$%, где $%\mathbb Q_p~-~$%поле $%p$%-адических чисел):
1. $%|x|_p \geqslant 0$% и $%|x|_p = 0 \Leftrightarrow x = 0$%
2. $%|xy|_p = |x|_p|y|_p$%
3. $%|x + y|_p \leqslant max(|x|_p,|y|_p)$%
4. $%|x + y|_p = max(|x|_p, |y|_p)\ \mbox{при}\ |x|_p \not= |y|_p$%

Требуется доказать свойства $%3$% и $%4$%. Причём при доказательстве свойства $%4$% можно опираться только на свойства $%1-3$% (иными словами, надо доказать, что если некоторая функция удовлетворяет первым трём из указанных свойств, то четвёртое будет автоматически следовать из этих трёх).

задан 30 Май '15 0:59

10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Вопрос отвечен и ответ принят". Закрывший - Poncho 30 Май '15 18:12

2

Третье свойство.
$$ x = p^{k_1} \frac{m_1}{n_1} $$ $$ y = p^{k_2} \frac{m_2}{n_2} $$ $$ x + y = p^{k_3} \frac{m_3}{n_3} $$ Получается, что $%k_3$% не меньше меньшего из чисел $%k_1$% и $%k_2$%. Но тогда $%\dfrac{1}{p^{k_3}}$% не превосходит большего из чисел $%\dfrac{1}{p^{k_1}}$% и $%\dfrac{1}{p^{k_2}}$%. Поэтому $$ |x+y|_p \leqslant max(|x|_p, |y|_p) $$

Четвёртое свойство.
Сначала докажем, что $%|a|_p = |-a|_p$%. $$ |1|_p = |1\cdot 1|_p \overset{2}{=} |1|_p \cdot |1|_p \overset{1}{\Rightarrow} |1|_p = 1 $$ $$ 1 = |1|_p = |(-1)\cdot (-1)|_p \overset{2}{=} |-1|_p \cdot |-1|_p \overset{1}{\Rightarrow} |-1|_p = 1 $$ $$ |-a|_p \overset{2}{=} |-1|_p |a|_p = |a|_p $$ Пусть $%|x|_p < |y|_p$%.

Из свойства $%3$% следует, что $%|x+y|_p \leqslant \max\,(|x|_p, |y|_p)$%. Поэтому $%|x+y|_p \leqslant |y|_p$%.

Но $$ |y|_p = |(x+y)-x|_p \leqslant \max\,(|-x|_p, |x+y|_p) = \max\,(|x|_p, |x+y|_p) $$ и, значит, $%|y|_p \leqslant |x+y|_p$% (так как $%|y|_p \leqslant |x|_p$% невозможно в связи с $%|x|_p < |y|_p$%). Поэтому $%|y|_p = |x+y|_p$%. То есть $%\max\,(|x|_p, |y|_p) = |x+y|_p$%.

ссылка

отвечен 30 Май '15 18:11

изменен 30 Май '15 18:13

10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×555
×9

задан
30 Май '15 0:59

показан
589 раз

обновлен
30 Май '15 18:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru