высшая-алгебра - Доказать неравенство

Пускай $%1-x=p^m\frac ab$% и $%1-у=p^n\frac cd$%, где $%a,b,c$% и $%d$% целые числа, не делящиеся на $%p$%, а $%n$% и $%m$% — целые. Не ограничивая общности, будем считать, что $%m\ge n$%. Тогда $$|1-x|_p=p^{-m}<1\Rightarrow m>0,|1-y|_p=p^{-n}<1\Rightarrow n>0,$$ $$1-xy=p^m\frac ab+p^n\frac cd-p^{m+n}\frac{ac}{bd}=p^n\frac{p^{m-n}ad+bc-p^mac}{bd}.$$ Поскольку $%bd$% не делится на $%p$%, то $$|1-xy|\le p^{-n}<1.$$

Хорошая популярная статья о $%p$% - адических числах - http://kvant.mccme.ru/1979/02/2--adicheskie_chisla.htm