$$ \lim_{x \rightarrow \infty, y \rightarrow \infty} \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}$$

задан 25 Июн '12 14:35

изменен 25 Июн '12 21:58

Angry%20Bird's gravatar image


9125

@Denial Memory, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(25 Июн '12 15:51) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%x=t,y=t:lim=\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{2t}{t^2}=\infty$%. Пусть $%x=t,y=-t:lim=0.$% Значит, предела нет.

ссылка

отвечен 25 Июн '12 18:52

изменен 25 Июн '12 18:58

$%\lim_{t \to \infty }\frac{2t}{t^2}=0 $%, так что оба построенных Вами предела равны нулю. В приведенной задаче двойной предел существует и равен нулю.

(2 Июл '12 15:42) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть, $%M$%-некоторое положительное число, $%|x| \gt M,\; |y| \gt M$%.
Это означает, что
либо $%x \gt M,\; y \gt M$%, либо $%x \gt M,\; y \lt -M$%, либо $%x \lt -M,\; y \gt M$%, либо $%x \lt -M,\; y \lt -M$%.
Для любой из этих четырех пар условий справедливы оценки $%x^2-xy+y^2 \gt M^2$%, $%|x+y| \lt 2M$%, откуда следует, что $$|\frac{x+y}{x^2-xy+y^2} | \lt \frac{2}{M}$$ Возьмем произвольное $%\varepsilon \gt 0$% и выберем для него $%M_{\varepsilon}=\frac{2}{\varepsilon}$%, тогда из условий $%|x| \gt M_{\varepsilon},\; |y| \gt M_{\varepsilon}$% следует, что $$|\frac{x+y}{x^2-xy+y^2} | \lt \varepsilon$$, следовательно, предел $$\lim_{x \to \infty }_{y \to \infty}\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}$$ существует и равен нулю.

ссылка

отвечен 2 Июл '12 16:37

10|600 символов нужно символов осталось
0

Ответ - нуль.

0<(x+y)/(x2-xy+y2)=(x+y)/((x-y)2+xy)<(x+y)/(xy)=1/y+1/x-> 0.

По лемме о двух мажорантах к нулю стремится и функция, стоящая внутри неравенств.

ссылка

отвечен 2 Июл '12 12:05

изменен 2 Июл '12 13:45

А откуда следует, что $%\frac{x+y}{x^2-xy+y^2} \gt 0$% ? Например, при x=-2, y=1 это выражение отрицательно, так же, как и при x=-1000001, y=1000000.

(2 Июл '12 16:10) Андрей Юрьевич

Андрей Юрmевич, ведь у нас x,y -> бесконечности и поэтому положительны

(3 Июл '12 7:08) Vvk

Андрей Юрьевич, в вашем решении утверждение x2-xy+y2>M2 на самом деле в точности эквивалентно утверждению, что предел нулевой. Тайна объясняется загадкой

(3 Июл '12 9:45) Vvk
1

Нет, запись $%\to \infty$% означает, что это одновременно и "+бесконечность" и "-бесконечность". Иначе должно быть записано явно $%\to +\infty$% или $%\to -\infty$%

(3 Июл '12 13:35) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно еще представить в полярной системе координат: $%x=r\cos \varphi,y=r\sin \varphi$%, предел берется при $%r\to+\infty$%. Тогда "подпредельное" выражение принимает вид $%\frac{\cos \varphi+\sin \varphi}{r(1-\cos \varphi\sin \varphi)}$% = $%\frac{\cos \varphi+\sin \varphi}{r(1-\sin 2\varphi/2)}$%. Числитель не превосходит 2, а знаменатель не меньше, чем $%r/2$%, значит, дробь не больше $%4/r$%, откуда и следует, что она стремится к 0.

ссылка

отвечен 4 Июл '12 0:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×527

задан
25 Июн '12 14:35

показан
4967 раз

обновлен
4 Июл '12 0:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru