пределы - Найти двойной предел

Пусть, $%M$%-некоторое положительное число, $%|x| \gt M,\; |y| \gt M$%.
Это означает, что
либо $%x \gt M,\; y \gt M$%, либо $%x \gt M,\; y \lt -M$%, либо $%x \lt -M,\; y \gt M$%, либо $%x \lt -M,\; y \lt -M$%.
Для любой из этих четырех пар условий справедливы оценки $%x^2-xy+y^2 \gt M^2$%, $%|x+y| \lt 2M$%, откуда следует, что $$|\frac{x+y}{x^2-xy+y^2} | \lt \frac{2}{M}$$ Возьмем произвольное $%\varepsilon \gt 0$% и выберем для него $%M_{\varepsilon}=\frac{2}{\varepsilon}$%, тогда из условий $%|x| \gt M_{\varepsilon},\; |y| \gt M_{\varepsilon}$% следует, что $$|\frac{x+y}{x^2-xy+y^2} | \lt \varepsilon$$, следовательно, предел $$\lim_{x \to \infty }_{y \to \infty}\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}$$ существует и равен нулю.

Ответ - нуль.

0<(x+y)/(x2-xy+y2)=(x+y)/((x-y)2+xy)<(x+y)/(xy)=1/y+1/x-> 0.

По лемме о двух мажорантах к нулю стремится и функция, стоящая внутри неравенств.

Можно еще представить в полярной системе координат: $%x=r\cos \varphi,y=r\sin \varphi$%, предел берется при $%r\to+\infty$%. Тогда "подпредельное" выражение принимает вид $%\frac{\cos \varphi+\sin \varphi}{r(1-\cos \varphi\sin \varphi)}$% = $%\frac{\cos \varphi+\sin \varphi}{r(1-\sin 2\varphi/2)}$%. Числитель не превосходит 2, а знаменатель не меньше, чем $%r/2$%, значит, дробь не больше $%4/r$%, откуда и следует, что она стремится к 0.