$$\frac{\sin x }{ 1^{3} } +\frac{\sin 3x }{ 3^{3} } +\frac{\sin 5x }{ 5^{3} } + \ldots = \frac{\pi x}{8} (\pi-x) , 0 < x < \pi$$ Известно, что задание нужно выполнить используя ряды Фурье, причем слева направо через комплексные

задан 30 Май '15 19:57

изменен 2 Июн '15 17:50

1

Нужно взять функцию из правой части и продолжить её по нечётности на промежуток от $%-\pi$% до $%\pi$%. После этого разложить в ряд Фурье обычным способом, подсчитывая коэффициенты $%b_n$% при $%\sin nx$% стандартным способом. Должно получиться то, что находится в левой части. Вычисления тут, я думаю, несложные.

(30 Май '15 20:01) falcao

@vlad_ivanov: промежуток брать можно какой угодно. Дело в том, что получатся ряды, сходящиеся на большем промежутке, и для точек меньшего промежутка формула получится как частный случай. Вообще, это более чем стандартный приём. Разложить ведь требуется только по синусам, поэтому функция должна быть нечётна. Если разложить как есть, то получатся и синусы, и косинусы, и это будет верная формула, но ненужная в данном случае.

Идти от левой части к правой в принципе тоже можно, применяя идею дифференцирования рядов и используя комплексные числа. Но я не уверен, что это будет лучше.

(30 Май '15 20:46) falcao

@falcao: с промежутками понятно. Можно поподробнее насчет левой части? А то у меня смутное сомнение насчет того, что равенство нужно было доказать именно слева

(30 Май '15 20:57) vlad_ivanov

@vlad_ivanov: сомнение, мне кажется, совершенно напрасное. Отношение равенства симметрично, а запись естественнее выглядит тогда, когда слева -- ряд, а справа его сумма. Доказательство "экстравагантным" способом я до деталей не продумывал. Мне кажется, это совершенно незачем использовать, если есть стандартный способ разложения в ряды (здесь на форуме часто такие упражнения рассматривались).

Если Вам не лень, то можете попробовать рассмотреть продифференцированное равенство -- там квадраты вместо кубов, и это может быть проще. Потом можно применить формулу Муавра, вводя $%e^{inx}$%.

(30 Май '15 21:14) falcao

@falcao: доказал неравенство справа. Показал преподу. Препод сказал что нужно доказывать слева и послал меня с задачей домой

(1 Июн '15 21:51) vlad_ivanov

@vlad_ivanov: бывают просто задачи, а бывают задачи с ограничениями -- типа, решить таким-то способом. В каких-то случаях разучивают определённый метод, и требуется что-то решить именно с его помощью. Здесь ничего по этому поводу в условии сказано не было. Поэтому я хочу уточнить, что имеется в виду. А то я предложу решение "слева направо", а окажется, что метод имелся в виду какой-то другой. Решать можно разными способами.

(1 Июн '15 23:55) falcao

@falcao: нужно через комплексные, только я не очень понимаю как

(2 Июн '15 17:49) vlad_ivanov
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Комментарии писать уже негде, поэтому напишу здесь.

Пусть $%z=\exp(ix)$%. Тогда левая часть равенства представляет собой мнимую часть суммы ряда $%f(z)=z+\frac{z^3}{3^3}+\frac{z^5}{5^3}+\cdots$%. Ряд можно почленно продифференцировать, получая $%f'(z)=1+\frac{z^2}{3^2}+\frac{z^4}{5^2}+\cdots$%, что выглядит как бы несколько проще. Потом можно домножить на $%z$% и продифференцировать ещё раз. Получится $%(zf'(z))'=1+\frac{z^2}3+\frac{z^4}5+\cdots$%. Такой ряд уже суммируется, и получается $%\frac1{2z}\ln\frac{1+z}{1-z}$%. Естественной выглядела бы идея возврата назад с применением интегрирования, с нахождением мнимой части в самом конце. Но уже на первом этапе интегралы получаются "плохие", то есть появляются дилогарифмы и всё такое прочее. Я не знаю, как в аналитическом виде можно всё это воплотить. Других идей насчёт того, как здесь можно было бы использовать комплексные числа, у меня нет.

ссылка

отвечен 2 Июн '15 20:07

Ладно, я попробую подоставать на эту тему препода, если что выясню, напишу сюда.

(2 Июн '15 20:45) vlad_ivanov

@vlad_ivanov: да, так и надо сделать, чтобы была полная ясность.

(2 Июн '15 20:53) falcao

@falcao: я нашел этот номер в задачнике, там не указано, как именно доказывать - поэтому вполне возможно что единственный адекватный способ решения именно справа

(2 Июн '15 21:32) vlad_ivanov
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,642
×770
×77

задан
30 Май '15 19:57

показан
653 раза

обновлен
2 Июн '15 21:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru