Найти в $%2$%-адических числах сумму $%1\cdot 1! + 2\cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + n \cdot n! + \ldots$%

задан 30 Май '15 21:21

10|600 символов нужно символов осталось
2

Методом математической индукции легко доказать следующее тождество для любого натурального $%n$%: $$1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+n\cdot n!=(n+1)!-1.$$ При $%n\to\infty$% число $%(n+1)!$% делится на степени двойки со стремящимися к бесконечности показателями, поэтому в 2-адической норме последовательность $%(n+1)!$% стремится к нулю. Поэтому последовательность частичных сумм ряда в той же норме стремится к $%-1$%.

ссылка

отвечен 31 Май '15 2:50

Спасибо, @falcao. Я надеялся, что сумма должна как-то сворачиваться. Но как можно было догадаться до тождества с факториалами, не зная его?

(31 Май '15 11:39) Poncho

@Poncho: а это одно из самых простых упражнений на индукцию -- оно встречается во многих сборниках задач. Там сам индукционный переход крайне прост. Не зная, что оно есть, догадаться легко по трём первым числам частичной суммы: 1, 5, 23. Ясно, что это факториалы без единицы.

(31 Май '15 13:06) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×555
×9

задан
30 Май '15 21:21

показан
578 раз

обновлен
31 Май '15 13:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru