Помогите решить задачку:

Доказать, что множества матриц

$$I = \begin{pmatrix} -x & 3x \\ -y & 3y \end{pmatrix}, J = \begin{pmatrix} 0 & x \\ 0 & y \end{pmatrix}, x, y\in R$$

являются подмодулями кольца $$M_2(R)$$ как левого модуля над собой и что $$M_2(R)/I\simeq J$$

При умножении элемента матрицы I на элемент матрицы M получаем элемент матрицы I, что говорит о том,что I - подмодуль. Аналогично с матрицами J. Достаточно ли этого для доказательства?

А что касается второй части задания, я правильно понимаю, что исходить нужно из утверждения,что любой простой R-модуль изоморфен фактормодулю R/m, где m — некоторый максимальный идеал кольца R?

Если так, то каким образом можно доказать, что J является простым модулем? и как его связать с I?

задан 31 Май '15 1:13

10|600 символов нужно символов осталось
2

Для проверки того, что $%I$% является подмодулем, нужно заметить, что множество $%I$% замкнуто относительно вычитания, а также относительно умножения слева на произвольные матрицы (это свойство относится к самим матрицам, а не к матричным элементам). Имеется в виду следующее легко проверяемое равенство: $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -x & 3x \\ -y & 3y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -(ax+by) & 3(ax+by) \\ -(cx+dy) & 3(cx+dy) \end{pmatrix}\in I.$$ Проверка того, что $%J$% является подмодулем, осуществляется аналогично.

Для доказательства утверждения о фактормодулях применим теорему о гомоморфизмах. Рассмотрим отображение $%\phi$% из $%M_2(\mathbb R)$% в $%J$%, заданное правилом $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} 0 & 3a+b \\ 0 & 3c+d \end{pmatrix}.$$ Очевидно, что его образ совпадает с $%J$%, а также то, что $%\phi$% есть гомоморфизм абелевых групп. Для проверки того, что оно является модульным гомоморфизмом, нужно показать, что $%\phi(XA)=X\phi(A)$% для любой матрицы $%X$%. Это делается непосредственной проверкой: если $%X=\begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$%, то в обоих случаях получается матрица $%\begin{pmatrix} 0 & x(3a+b)+y(3c+d) \\ 0 & z(3a+b)+t(3c+d) \end{pmatrix}$%.

Ядром гомоморфизма $%\phi$% является $%I$% (что служит ещё одним доказательством того, что $%I$% -- подмодуль), и при этом $%M_2(\mathbb R)/I\cong J$% по теореме о гомоморфизмах.

ссылка

отвечен 31 Май '15 4:51

Огромное спасибо!!))

(31 Май '15 13:54) Ice_Fox
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709
×653
×62

задан
31 Май '15 1:13

показан
342 раза

обновлен
31 Май '15 13:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru