алгебра - Модуль на кольцом матриц

Для проверки того, что $%I$% является подмодулем, нужно заметить, что множество $%I$% замкнуто относительно вычитания, а также относительно умножения слева на произвольные матрицы (это свойство относится к самим матрицам, а не к матричным элементам). Имеется в виду следующее легко проверяемое равенство: $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -x & 3x \\ -y & 3y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -(ax+by) & 3(ax+by) \\ -(cx+dy) & 3(cx+dy) \end{pmatrix}\in I.$$ Проверка того, что $%J$% является подмодулем, осуществляется аналогично.

Для доказательства утверждения о фактормодулях применим теорему о гомоморфизмах. Рассмотрим отображение $%\phi$% из $%M_2(\mathbb R)$% в $%J$%, заданное правилом $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} 0 & 3a+b \\ 0 & 3c+d \end{pmatrix}.$$ Очевидно, что его образ совпадает с $%J$%, а также то, что $%\phi$% есть гомоморфизм абелевых групп. Для проверки того, что оно является модульным гомоморфизмом, нужно показать, что $%\phi(XA)=X\phi(A)$% для любой матрицы $%X$%. Это делается непосредственной проверкой: если $%X=\begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$%, то в обоих случаях получается матрица $%\begin{pmatrix} 0 & x(3a+b)+y(3c+d) \\ 0 & z(3a+b)+t(3c+d) \end{pmatrix}$%.

Ядром гомоморфизма $%\phi$% является $%I$% (что служит ещё одним доказательством того, что $%I$% -- подмодуль), и при этом $%M_2(\mathbb R)/I\cong J$% по теореме о гомоморфизмах.