Пусть $%G$% - неединичная группа, в которой все неединичные элементы имеют один и тот же порядок $%p$%. Докажите, что $%p$% - простое.
Что-то никак не соображу, как мне это сделать. Вроде можно построить автоморфизм, который сохраняет порядок элементов, но почему из этого следует, что $%p$% - простое?

задан 31 Май '15 3:27

изменен 31 Май '15 9:59

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Это доказывается совсем просто. Надо принять во внимание такой факт, что если порядок элемента $%x$% группы $%G$% равен $%mn$%, то элемент $%x^m$% имеет порядок $%n$% (все числа здесь натуральные). Действительно, $%(x^m)^n=x^{mn}=e$%, и при этом $%n$% является наименьшим натуральным числом с таким свойством. В противном случае $%(x^m)^k=e$% для некоторого $%k < n$%, но тогда $%x^{mk}=e$%, где $%mk < mn$%, что противоречит определению порядка элемента.

Если $%p$% составное, то мы представляем его в виде $%p=mn$%, где $%1 < m,n < p$%, и тогда по предыдущему у нас найдётся неединичный элемент порядка $%n\ne p$%, что противоречит условию.

ссылка

отвечен 31 Май '15 3:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×755

задан
31 Май '15 3:27

показан
413 раз

обновлен
31 Май '15 3:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru