дифференциальные-уравнения - Как решить задачу Коши? (У меня странные числа выходят)

Question

Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения $%y'=f(x,y)$% на отрезке $%[4;5]$% с начального условия $%y_0=y(a)$% методом Эйлера-Коши с точностью $%0,00001$%

$$y' =xy^{3} - x^{2} $$

$$[a;b]=[4;5]$$ $$y(a)=0,7$$

Не могу понять, что это за метод такой Эйлера-Коши? Просто Эйлера нашел (там их несколько), а Эйлера-Коши нет. Посоветуйте, будьте добры, каким же методом требуется решать? Спасибо.

ValeryB 1.6k●1●2●7 · Accepted Answer

0

Первый метод Эйлера. А вторая формула для метода Эйлера-Коши - это улучшенный вариант первого метода, называется также метод Эйлера с коррекцией.

ссылка

отвечен 7 Янв '12 18:37

ValeryB
1.6k●1●2●7

Поправьте меня, пожалуйста. Сначала отрезок [4;5] разбиваем на n равных частей. Пусть n=10. Получаем 10 равноотстоящих друг от друга узловых точек (узлов). Тогда h=0,1
Далее ищем y! Как? Подставлять в -

$$y' =xy^{3} - x^{2} $$

или во вторую формулу, $$ y_{i+1} = y_{i} + \frac{h}{2} [f( x_{i} , y_{i} )+f(x_{i+1} , y_{i}+hf(x_{i} , y_{i}))]; $$ ??

(7 Янв '12 19:50) bolivak

$$y_{1} = y_{0} + \frac{h}{2} [( x_{0} y_{0} ^{3} - x_{0} ^{2})+(( x_{1} y_{0} ^{3} - x_{0} ^{2}))+h \times ( x_{0} y_{0} ^{3} - x_{0} ^{2})];$$

Если
$$x_{0}=4;$$ $$x_{1}=4,1;$$ $$x_{2}=4,2;$$ $$x_{3}=4,3;$$ $$x_{4}=4,4;$$ $$x_{5}=4,5;$$ $$x_{6}=4,6;$$ $$x_{7}=4,7;$$ $$x_{8}=4,8;$$ $$x_{9}=4,9;$$ $$x_{10}=5;$$

A $$y_{0}=0.7$$

$$y_{1} = 0,7 + \frac{0,1}{2} [( 4 \times (0,7) ^{3} - 4 ^{2})+(( 4,1\times(0,7) ^{3} - 4 ^{2}))+0,1 \times ( 4 \times(0,7) ^{3} - 4 ^{2})]=-0,83594 $$

(7 Янв '12 20:33) bolivak

А далее подставляем y_{1}=-0,83594 и ищем y_{2} и так далее... И это будет окончательным решением.

Я правильно решаю?

(7 Янв '12 20:47) bolivak

Так не решают . Надо подумать об организации вычисленийв таблице. Но просчитать вручную два шага. Затем на Mathcad. Можно Pascal, Excel Полагаем на каждом шаге K=f(xk,yk), K1=f(x(k+1),yk), y(k+1)(коррек)=yk+h(K+K1)/2) Например, шапка таблицы k, xk, yk, K,K1 ,y(k+1)(коррекция)

(7 Янв '12 20:55) ValeryB

Программу Паскаль, если можешь, подправь и действуй

{уравнение Dy=f(x,y), где p=Dy производная начальные условия y(x0)=y0}

{MAIN program}
var x0,y0 ,fx0y0,k,x1,y1 ,a,b ,h : real ;
var n,i:integer;
begin
writeln;    
writeln;
x0:=0; 
y0:=0;  
a:=x0; 
b:=1;
h:=0.1; 
k:=0;
n:=10;
{***************}
writeln('x ,        k,        y');
writeln(x0:7:4,#09,k:7:4,#09,y0:7:4);
for i:=1 to n do  begin
     fx0y0:=cos(x0-y0)+1.25*y0/(1.5+x0);
     k:= fx0y0;  
     x1:=x0+h;  
     y1:= y0+k*h;
     writeln(x1:7:4,#09,k:7:4,#09,y1:7:4);
     x0:=x1;
     y0:=y1;
end;
read(h);
end.

(7 Янв '12 21:06) ValeryB

Простите, но задание нужно сдать на бумаге с расчетами вручную. Без программы. А в Паскале я ничего не понимаю. Лучше бы в Excel.

(7 Янв '12 21:12) bolivak

"Так не решают . Надо подумать об организации вычисленийв таблице." - Но мой первый шаг верен или вообще я все не так сделал?

(7 Янв '12 21:19) bolivak

А кто мешает выполнитьв Mathcad? А затем переписать?

(7 Янв '12 21:55) ValeryB

Да дело не в этом! Мне вообще расчеты на бумаге нужно сдать, без всяких программ, только одни чисельные методы, в ручную. Вы мне, скажите, будьте добры, мое решение верное или нет? Если да, то я продолжу вычислять игрек! Если нет, то подскажите, если не трудно, что же делать. В понедельник нужно сдавать, а я не разобрался в самом процессе. Помогите, пожалуйста!

(8 Янв '12 4:09) bolivak

Вообщем наверное мое решение неверное... слишком большые числа получаются... Так я и не понял ничего. И что делать дальше и как правильно решать не знаю. Спасибо, что потратили время на ответы, но, к сожалению, я не въехал.

(8 Янв '12 19:45) bolivak

Все правильно,решение зашкаливает.Возьми [0,4;0,5] Тогда шапка таблицы 0 0.4 0.7 -0.0228 0.6998 0.6999 -0.0252 -0.024 1 0.41 0.6998 -0.0276 0.6995 0.6997 -0.0301 -0.0288 2 0.42 0.6995 -0.0326 0.6992 0.6994 -0.0352 -0.0339 3 0.43 0.6992 -0.0379 0.6988 0.699 -0.0407 -0.0393 4 0.44 0.6988 -0.0435 0.6984 0.6986 -0.0463 -0.0449 5 0.45 0.6984 -0.0492 0.6979 0.6982 -0.0522 -0.0507 6 0.46 0.6979 -0.0552 0.6973 0.6976 -0.0584 -0.0568 7 0.47 0.6973 -0.0615 0.6967 0.697 -0.0648 -0.0631 8 0.48 0.6967 -0.0681 0.696 0.6964 -0.0714 -0.0698 9 0.49 0.696 -0.0749 0.6953 0.6957 -0.0783 -0.0766 10 0.5 0.6952

(8 Янв '12 20:14) ValeryB

Я уже наверное Вам надоел, (честно пытался понять сам) но что у вас в каждой из 8-ми колонок? Числа одиноковые трудно разобраться? Может быть при точности 0,00001 было бы понятнее. Никак не могу найти теории объясняющей именно этот метод и потому не понимаю Ваших шагов. Извините. $$1.k,$$ $$2.x_{k},$$ $$3.y_{k}, $$ $$4.K=f( x_{k} , y_{k} )=x y^{3} - x^{2}$$ $$4-?$$ $$5-?$$ $$6-?$$ $$7-?$$ $$8-?$$ Простите и не судите строго...
Спасибо!

(8 Янв '12 22:40) bolivak

Шапка таблицы $$ k , x_k,y_k, f(x_k,y_k)} $$ Просто Метод Эйлера. $$y_{k+1}=y_k+hf(x_k,y_k)$$ .Оттрезок [1;2], $$y_0=0.7$$Таблица 0 1 0.7 -0.657 1 1.1 0.6343 -1.21 2 1.2 0.5414 -1.44 3 1.3 0.4164 -1.69 4 1.4 0.2568 -1.96 5 1.5 0.0632 -2.25 6 1.6 -0.1618 -2.56 7 1.7 -0.4185 -2.89 8 1.8 -0.7199 -3.24 9 1.9 -1.1111 -3.61 10 2 -1.7327 -4

(9 Янв '12 7:37) ValeryB

Спасибо! з.ы. А разве не нужно чтобы итерации совпали?

(9 Янв '12 13:33) bolivak

Они и не должны совпадать . По этим точкам можно построить график решения y=y(x)

(9 Янв '12 13:35) ValeryB

показано 5 из 15 показать еще 10

дифференциальные-уравнения - Как решить задачу Коши? (У меня странные числа выходят)

1 ответ

Здравствуйте

Связанные вопросы

Отслеживать вопрос