$%A:C[0;\pi] \to C[0;\pi]\\ Ax(t) = \int_0^\pi \sin(2t-s)x(s)ds \\ Найти: A^2x(t)$%

задан 31 Май '15 14:23

изменен 31 Май '15 16:02

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Будем искать $%A^2x(t)$% в виде $%A^2x(t)=\int_0^{\pi}\phi(t,s)x(s)\,ds$%, где $%\phi$% -- некоторая функция от двух переменных.

$%A^2x(t)=A(Ax(t))=\int_0^{\pi}\sin(2t-\sigma)Ax(\sigma)\,d\sigma=\int_0^{\pi}\sin(2t-\sigma)\int_0^{\pi}\sin(2\sigma-s)x(s)\,ds\,d\sigma$%. Это значит, что $%A^2x(t)=\int_0^{\pi}\phi(t,s)x(s)\,ds$%, где $%\phi(t,s)=\int_0^{\pi}\sin(2t-\sigma)\sin(2\sigma-s)\,d\sigma$%. Применяя известное тригонометрическое тождество, получаем, что $%\sin(2t-\sigma)\sin(2\sigma-s)=\frac12\cos(2t+s-3\sigma)-\frac12\cos(2t-s+\sigma)$%. Певообразная здесь равна $%-\frac16\sin(2t+s-3\sigma)-\frac12\sin(2t-s+\sigma)$%. Беря разность значений на концах отрезка $%[0;\pi]$%, получаем $%\phi(t,s)=\frac13\sin(2t+s)+\sin(2t-s)$%.

Ответ можно дать в таком виде, а можно заметить, что первое слагаемое представимо в виде $%-\frac13\sin(-2t-s)$%, откуда следует, что $%A^2x(t)=-\frac13Ax(-t)+Ax(t)$%.

ссылка

отвечен 31 Май '15 15:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×385

задан
31 Май '15 14:23

показан
197 раз

обновлен
31 Май '15 15:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru