$%A = (a_{ij}); i,j = \overline{1,n} \\ x \in R^n, ||x|| = \sum_{i=1}^n |x_i| \\ A:R^n -> R^n \\ Найти ||A|| = sup||Ax|| \\ (||x||<=1)$%

задан 31 Май '15 14:45

изменен 31 Май '15 15:35

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим сумму модулей элементов матрицы для каждого из столбцов: $%s_j=\sum_{i=1}^n|a_{ij}|$%. Положим $%L=\max_{1\le j\le n}s_j$%. Докажем, что $%||A||=L$% (максимальное значение суммы модулей элементов в столбце). Пусть максимум достигается на $%j$%-м столбце, то есть $%L=s_j$%. Умножим матрицу на единичный вектор-столбец $%e_j$%. Получится $%j$%-й столбец матрицы, норма которого равна $%s_j=L$%. Поскольку $%||e_j||=1$%, отсюда следует неравенство $%||A||\ge L$%.

В обратную сторону: пусть $%x=\sum_{j=1}^nx_je_j$% -- произвольный вектор-столбец с единичной нормой, то есть $%\sum_{j=1}^n|x_j|=1$%. Из сказанного выше следует, что $%||Ae_j||=s_j\le L$%. Поэтому $%||Ax||=||\sum_{j=1}^nx_jAe_j||\le\sum_{j=1}^n|x_j|\cdot||Ae_j||\le L\sum_{j=1}^n|x_j|=L$%, откуда $%||A||\le L$%.

ссылка

отвечен 31 Май '15 18:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×845

задан
31 Май '15 14:45

показан
421 раз

обновлен
31 Май '15 18:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru