А) При каком наибольшем $%N$% на окружности можно отметить $%N$% точек так, что среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдется ровно $%2015$% прямоугольных треугольников?

Б) При каком наименьшем $%N$% на окружности можно отметить $%N$% точек так, что среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдется ровно $%2015$% прямоугольных треугольников?

В) При каком наименьшем $%N$% на окружности можно отметить $%N$% точек так, что среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдется по крайней мере $%2015$% прямоугольных треугольников?

задан 31 Май '15 16:28

10|600 символов нужно символов осталось
4

Пусть среди $%n$% точек имеется $%d$% пар диаметрально противоположных. Тогда $%n\ge2d$%, и прямоугольных треугольников с вершинами в данных точках будет $%d(n-2)$%.

а) Если $%d(n-2)=2015$%, и $%n\to\max$%, то $%d\to\min$%. Полагаем $%d=1$%. Легко видеть, что $%n=2017$% точек можно так расположить на окружности, чтобы диаметр возникал только один.

б) Здесь $%4030=2d(n-2)\le n(n-2)$%, откуда $%n\ge65$%. При этом $%n-2$% делит $%2015=5\cdot13\cdot31$%. Наименьшее значение получается при $%n-2=65$%, то есть $%n=67$%. Количество диаметров здесь равно $%d=31$%, что легко осуществимо: выбираем любые диаметры в таком количестве, и добавляем 5 точек, не дающих новых диаметров.

в) Здесь почти то же самое: $%4030\le2d(n-2)\le n(n-2)$%, и $%n\ge65$%. Это значение подходит, так как можно взять пример с $%d=32$%, и тогда $%d(n-2)=32\cdot63=2016$%.

ссылка

отвечен 31 Май '15 17:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,124

задан
31 Май '15 16:28

показан
879 раз

обновлен
31 Май '15 17:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru