Найдите многочлен наименьшей степени, дающий в остатке $%2x$% при делении на $%(x-2)^2$% и $%4x$% при делении на $%(x+1)^3$%.

задан 1 Июн '15 9:57

изменен 1 Июн '15 10:02

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Я бы предложил такое решение. Сначала разделим с остатком $%(x+1)^3$% на $%(x-2)^2$%. Это можно сделать "столбиком". Получится частное $%x+7$% (оно роли не играет) и остаток $%27(x-1)$%.

Согласно второму условию, $%P(x)=(x+1)^3Q(x)+4x$%. Следовательно, $%P(x)=(x-2)^2(x+7)Q(x)+27(x-1)Q(x)+4x$%. Отсюда очевидно, что $%Q(x)$% не может иметь нулевую степень: остаток $%2x$% от деления на $%(x-2)^2$% никак не получится. Поэтому полагаем $%Q(x)=ax+b$%, и ищем коэффициенты так, чтобы многочлен $%27(x-1)(ax+b)+2x$% делился на $%(x-2)^2$%. Здесь можно раскрыть скобки и поделить "столбиком". Получится $%(2+27b+81a)x-27(b-4a)$%. Оба коэффициента приравниваются к нулю, и получается простая система, которая далее легко решается.

Можно поступить по-другому. Если многочлен делится на $%(x-2)^2$%, то его значение в точке $%x=2$% равно нулю, и значение его производной в этой точке тоже равно нулю. Это даёт $%27(2a+b)+4=0$% (первое условие), а производная равна $%27(ax+b)+27a(x-1)+2$%. Подставляя $%x=2$%, имеем $%27(2a+b)+27a+2=0$%. Первое слагаемое равно $%-4$%, откуда $%27a=2$%. Далее из первого уравнения находим $%b$%, и $%ax+b=\frac2{27}x-\frac8{27}$%.

Итоговый ответ: $%P(x)=\frac2{27}(x+1)^3(x-4)+4x$%, и осталось раскрыть скобки.

ссылка

отвечен 1 Июн '15 19:59

10|600 символов нужно символов осталось
0

Очевидно, что искомый многочлен $%P(x)$% не может быть многочленом первой степени (иначе в остатках мы бы получали константы): $$P(x)=Q_1(x)(x-2)^2+2x$$ $$P(x)=Q_2(x)(x+1)^3+4x$$ $$P(2)=4, P(-1)=-4$$ Теперь достаточно взять многочлен четвертой степени, который в точках 2 и -1 принимает значения 4 и -4. $$P(x)=ax^4+bx^2+c$$ $$P(2)=16a+4b+c=4$$ $$P(-1)=a-b+c=-4$$ $$a=1; b= - \frac 75; c=- \frac {32}{5}$$

ссылка

отвечен 1 Июн '15 10:13

изменен 1 Июн '15 10:45

@Роман83: квадратичный многочлен не подходит, так как при делении на $%(x+1)^3$% он даст в остатке самого себя, а нужно $%4x$%.

(1 Июн '15 10:17) falcao

В итоге какова степень многочлена?

(1 Июн '15 10:24) Nikitc

Сейчас все подкорректирую.

(1 Июн '15 10:37) Роман83

Степень верная, но коэффиценты найдены неправильно, как их найти? Вот ответ - $%4x^4-27x^3+66x^2-65x$%, но как к нему прийти?

(1 Июн '15 10:51) Nikitc

Суть в том, что может еще условие должно быть, что коэффициенты многочлена должны быть целыми? Тогда в $%P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$% подставьте $%P(2)=4; P(-1)=-4$%.

(1 Июн '15 10:55) Роман83

И как найти коэфиценты?

(1 Июн '15 11:12) Nikitc
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×310

задан
1 Июн '15 9:57

показан
1098 раз

обновлен
1 Июн '15 19:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru