Здравствуйте!
Задача такая.
Найдите все положения равновесия системы: $$\begin{cases} y_1' = -y_1^2 + y_2 \\ y_2' = -\ln (1 - y_1 + y_1^2) + \ln 3 \end{cases}$$

Определите, какие устойчивы, а какие нет.

задан 1 Июн '15 14:07

изменен 1 Июн '15 16:07

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Чтобы найти положения равновесия, приравниваем производные к нулю. Получается $%y_2=y_1^2$% и $%y_1^2-y_1-2=0$%; корни $%2$% и $%-1$%. Положений равновесия получается два: $%(2;4)$% и $%(-1;1)$%. Исследуем их на устойчивость.

1) Делая замену $%z_1=y_1-2$% и $%z_2=y_2-4$%, линеаризуем систему вблизи нуля: $%z_1'=-(z_1+2)^2+(z_2+4)\approx-4z_1+z_2$% и $%z_2'=\ln\frac3{1-(z_1+2)+(z_1+2)^2)}=\ln\frac3{3+3z_1+z_1^2}\approx-z_1$% с точностью до бесконечно малых второго порядка. Матрица линеаризованной системы имеет вид $$\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.$$ Характеристическое уравнение имеет вид $%\lambda^2+4\lambda+1=0$%. Корни $%\lambda=-2\pm\sqrt3$% вещественны и отрицательны. Это устойчивый узел.

2) Здесь $%z_1=y_1+1$%, $%z_2=y_2-1$%; после выделения линейных членов получается $%z_1'\approx2z_1+z_2$%; $%z_2'\approx z_1$%. Матрица равна $$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ Характеристическое уравнение имеет вид $%\lambda^2-2\lambda-1=0$%. Корни $%\lambda=1\pm\sqrt2$% вещественны и имеют разные знаки. Это седло; положение равновесия неустойчивое.

ссылка

отвечен 2 Июн '15 16:44

@falcao: К сожалению, я не до конца разобралась в этом примере. Такой глупый вопрос - а почему z2' ≈ -z1 в пункте 1)?

(15 Июн '15 22:31) Math_2012
1

@Anna_2012: поскольку $%\ln(1+t)=t+o(t)$% при $%t\to0$%, для $%z_2'$% под знаком логарифма получается $%\frac1{1+z_1+o(z_1)}=1-z_1+o(z_1)$%, то есть логарифм равен $%-z_1+o(z_1)\approx-z_1$%.

(15 Июн '15 23:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,158
×16

задан
1 Июн '15 14:07

показан
7003 раза

обновлен
15 Июн '15 23:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru