теория-вероятностей - Центральная предельная теорема

Я понимаю, дохожу до $%P(\eta<420)=P(\eta<(420−na)/(\sigma \sqrt{n})$%, а η это нормальное распределение. - Как-то странно понимаете... преобразование неравенства у Вас какое-то однобокое...

У Вас имеется 400 независимых (на что обратил внимание @falcao) СВ с распределением Пуассона $%\Pi(1)$% ... они имеют одинаковые матожидания, дисперсии и абсолютные центральные третьи моменты, следовательно, согласно ЦПТ (теореме Ляпунова) выполняется $$ X=X_1+\ldots+X_{400}\approx N\left(400;400\right) $$ Тогда $$ Y = \frac{X-400}{\sqrt{400}}\approx N\left(0;1\right) $$ Теперь преобразуете Ваше неравенство $$ P\left(X<420\right)=P\left(Y<\frac{420-400}{\sqrt{400}}\right)= \frac{1}{2}+\Phi\left(\frac{420-400}{\sqrt{400}}\right) = \;... $$

================================================

откуда в конце примера вылезла 1/2 - такая формула связи между ФР нормального распределения стандартного нормального распределения и функцией Лапласа...
Правда, бывают разные определения этой функции... В этой формуле функция Лапласа определена как $$ \Phi(x)=\int\limits_{0}^{x} \phi(t)\;dt, $$ тогда $$ P(\xi < x) = \int\limits_{-\infty}^{x} \phi(t)\;dt = \int\limits_{-\infty}^{0}+\int\limits_{0}^{x} = 0.5+\Phi(x) $$

Так же в литературе встречается функция, которую тоже называют функцией Лапласа, $$ \Phi_0(x)=\int\limits_{-x}^{x} \phi(t)\;dt, $$ при этом $$ P(\xi < x) = \frac{1+\Phi_0(x)}{2} $$