Приведите пример двух элементов в кольце $%\mathbb Z[\sqrt{-5}]$%, которые не имеют наибольшего общего делителя.

задан 1 Июн '15 20:31

изменен 1 Июн '15 22:33

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Обратимыми элементами кольца $%\mathbb Z[\sqrt{-5}]$% являются $%\pm1$%. Рассмотрим такое равенство: $%2\cdot3=6=1+5=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$%. Предположим, что элементы $%2$% и $%1+\sqrt{-5}$% имеют наибольший общий делитель в данном кольце. Исследуем делители того и другого элемента, отбирая из них общие.

Допустим, что элемент $%2$% имеет разложение на множители: $%2=(a+b\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5})$%. Переходя к квадратам модулей комплексных чисел, имеем $%4=(a^2+5b^2)(c^2+5d^2)$%. Очевидно, что ни один из сомножителей не равен $%2$%, поэтому перемножаются числа $%1$% и $%4$%, что возможно лишь в случае $%b=d=0$%. Отсюда следует, что делителями элемента $%2$% в кольце являются только $%\pm1$% и $%\pm2$%.

Аналогично рассматриваем разложения для $%1+\sqrt{-5}=(a+b\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5})$%. Здесь $%6=(a^2+5b^2)(c^2+5d^2)$%, и из тех же соображений получаются множители $%1$% и $%6$%. Получается, что делителями элемента $%1+\sqrt{-5}$% могут быть только $%\pm1$% и $%\pm(1+\sqrt{-5})$%.

Эти рассуждения показывают, что оба элемента $%2$% и $%1+\sqrt{-5}$% не допускают нетривиального разложения на множители, то есть это простые элементы кольца. Общими делителями являются $%\pm1$%, и тогда, если НОД существует, то он равен единице, и имеет место представление $%1=2u+(1+\sqrt{-5})v$% для некоторых элементов $%u,v\in\mathbb Z[\sqrt{-5}]$%. Домножая на $%1-\sqrt{-5}$%, получаем, что этот элемент равен $%2u(1-\sqrt{-5})+6v$%, то есть он делится в кольце на $%2$%. Но это невозможно, так как из условия $%1-\sqrt{-5}=2(x+y\sqrt{-5})$% следовало бы $%1=2x$%, где $%x$% целое.

ссылка

отвечен 2 Июн '15 1:26

@falcao, а разве теорема о линейном представлении НОДа верна в кольце $%\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$%? Ведь этот факт базируется на свойстве евклидовости, коим это кольцо (ввиду нефакториальности) не обладает. А элементы $%2$% и $%1+\sqrt{-5}$% вполне себе имеют НОД, именно, $%1$% (ну или $%-1$%).

(2 Июн '16 23:10) Ivan_Petrov

@Ivan_Petrov: здесь не было дано определение НОД для рассматриваемого случая, поэтому я "по умолчанию" посчитал, что d есть НОД(a,b), если идеал, порождённый a и b, равен d. Поскольку в "классическом" случае это так, то на "неклассический" случай можно и таким образом обобщить.

Но вообще-то, чтобы не возникало разночтений, надо давать определения или пояснения ко всему, что может хоть как-то выходить за рамки однозначно общепринятого.

(2 Июн '16 23:20) falcao

@falcao, а что такое "(не)классический случай"? Я всегда считал, что "классическое" определение таково: НОДом двух одновременно не равных нулю элементов $%a$% и $%b$% целостного кольца $%R$% называется такой элемент $%d$%, что он делит $%a$% и $%b$%, и если другой элемент $%d'$% тоже делит $%a$% и $%b$%, то он делит и $%d$%. При таком определении НОД у указанных элементов есть. (По Вашему определению, конечно, нет.)

(2 Июн '16 23:34) Ivan_Petrov

@Ivan_Petrov: под "классическим" случаем я понимаю целые числа, кольца многочленов над полями, и т.п. Всё остальное -- это уже обобщения, и там надо уточнять определения. Безусловно, Ваша версия определения звучит совершенно естественно, но для меня априори не было очевидно, что речь должна идти непременно об этом.

Если брать Ваше определение за основу, то подойдут примеры, описываемые здесь.

(2 Июн '16 23:44) falcao
1

@falcao, спасибо за пояснения. Иными словами, под "классическим" случаем Вы понимаете кольца главных идеалов. Я предпочитаю НОД в любых областях целостности определять так, как написал (при таком определении, в частности, любые два неприводимых элемента имеют НОД), а Ваше определение рассматривать в качестве (очевидной) теоремы, гласящей, что в КГИ НОД любых двух элементов существует (и что для него существует "линейное представление"). Я не утверждаю, что здесь речь должна идти о моем определении; не исключено, что имелось в виду Ваше. Хотя классическое мне тоже кажется более естественным.

(2 Июн '16 23:59) Ivan_Petrov
1

@Ivan_Petrov: я вообще-то имел в виду другое, а именно, взгляд на вещи из времён, когда не было понятий современной алгебры. Конечно, "классическая" ситуация относится к случаю колец главных идеалов, но если обобщать, то можно брать более широкий класс -- когда не все идеалы главные, но под существованием НОД(a,b) понимается то, что идеал (a,b)=(d) -- главный. Пути обобщения могут быть разными (как, скажем, понятия размерности в кольцах, где бывает с десяток разных не эквивалентных версий). В данном случае верным было бы брать за основу определение из читаемого учебного курса.

(3 Июн '16 1:17) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,151

задан
1 Июн '15 20:31

показан
1512 раз

обновлен
3 Июн '16 1:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru