Добрый вечер. Подскажите, в какой литературе подробно разобран утонченный признак Даламбера и Коши, а то есть случай, когда последовательность не всегда может иметь предел, а верхний и нижний пределы всегда существуют (бесконечности тоже рассматриваются). Поэтому если верхний предел отношения меньше 1, то ряд сходится, а если нижний предел отношения больше единицы, то ряд расходится. Заранее спасибо.

задан 1 Июн '15 21:30

изменен 2 Июн '15 10:10

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Во втором томе Фихтенгольца эти признаки сформулированы в виде неравенств... то есть, для признака Коши, утверждается, что $%\sqrt[n]{a_n}<1$%, то ряд сходится и так далее...

(1 Июн '15 21:59) all_exist

Но там же нет связи с верхним и нижним пределом, или я что-то не так понимаю или не туда смотрю?

(1 Июн '15 22:06) frankrizol

А разве из того, что верхний предел меньше единицы не следует это неравенство?... и аналогично про нижний предел и неравенство $%>1$% ...

(1 Июн '15 22:10) all_exist

Но так там-то это не разобрано, даже это неравенство не нашел, только $% \le q$% и $%\ge 1$%.

(1 Июн '15 22:12) frankrizol

но так там-то это не разобрано - Так докажите сами ...

(1 Июн '15 22:18) all_exist

если бы я мог доказать, я бы не просил литературу

(1 Июн '15 22:38) frankrizol
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Именно литературы не припомню, но попробую сам написать нужный разбор.

1) Если верхний предел $%\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1,$% то ряд $%\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$% сходится.

В самом деле, если верхний предел $%r$% меньше единицы, то, в частности, начиная с какого-то $%n\,\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|<\dfrac{1+r}{2},$% потому ряд ограничивается убывающей геометрической прогрессией со знаменателем, меньшим единицы.

О расходимости ряда верхний предел ничего сказать не может. В самом деле, рассмотрим ряд $%a_n=1/n$% при $%n = 10^k,\,k\in\mathbb Z,$% и $%2^{-n}$% иначе. Здесь верхний предел отношения равен $%+\infty,$% но частичные суммы ограничены сверху выражением $%\sum\limits_{k=1}^{n}2^{-n}+\frac{10}{9},$% поэтому ряд сходится.

2) Если нижний предел $%\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1,$% то ряд расходится.

В самом деле, если $%\underline\lim\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=q>1,$% то начиная с какого-то $%n_0\,\forall n>n_0\,\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1,$% из-за чего для всех $%n>n_0\:|a_n\!|>|a_{n_0}\!|,$% поэтому просто не выполняется необходимое условие сходимости ряда (общий член не стремится к нулю).

О сходимости ряда нижний предел ничего сказать не может. В самом деле, пусть $%a_n = 2^{-n},$% если $%n$% чётное, и $%1$% иначе. Тогда нижний предел величины отношения равен 0, хотя ряд с таким общим членом, очевидно, расходится.

3) Если верхний предел $%\sqrt[n]{|a_n|}<1,$% то ряд сходится.

Для доказательства аналогично пункту 1 найдём такое $%n_0,$% что для всех $%n>n_0\:\sqrt[n]{|a_n|}<\dfrac{1+r}2,$% где $%r-$% верхний предел корня. Как видим, с этого момента ряд легко ограничивается убывающий геометрической прогрессией.

В отличие от признака д'Аламбера, в признаке Коши ряд расходится уже если верхний предел $%\sqrt[n]{|a_n|}>1.$% В самом деле, данное условие означает, что существует подпоследовательность $%a_{n_k}$% общих членов ряда такая, что $%\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|}>1.$% Но тогда и $%|a_{n_k}|>1$%, что противоречит сходимости ряда.

Нижний предел данной величины о сходимости ничего сказать не может. В самом деле, пусть в ряду на чётных местах стоят нули, а на нечётных - единицы. Тогда нижний предел корня, очевидно, равен нулю, но ряд расходится.

ссылка

отвечен 1 Июн '15 22:52

огромное спасибо

(1 Июн '15 22:57) frankrizol

@trongsund, Ваше доказательство повторяет доказательство предельных признаков ... если мне не изменяет память, то верхний и нижний пределы - это точные грани частичных пределов, то есть пределов подпоследовательностей... об этом у Вас нет ни слова ... задумчиво чешет затылок ...

(1 Июн '15 23:01) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,421
×588

задан
1 Июн '15 21:30

показан
459 раз

обновлен
1 Июн '15 23:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru