Пусть $% g_n(x)= (x^n-1)/(x-1) $%. При каком наибольшем значении $% n $% существует многочлен $% f(x) $% степени не менее 1 и не более n-2 с целыми коэффициентами, для которого $% f(x)f(1/x) \equiv k \mod g(x)? $% Например, при $% n=3: x(1+x)(1+1/x)≡x \mod g(x) $%.

задан 2 Июн '15 13:08

изменен 3 Июн '15 2:15

1

@Urt: условие пока не очень понятно. Что такое $%k$%? Если это произвольное целое число, то можно брать $%f$% постоянным.

(2 Июн '15 15:39) falcao

@falcao, на самом деле у меня $%k$% связано c $%n$%, но я хотел, чтобы эту связь, кроме того, нужно было определить при решении задачи. Чуть позже поправлю условие - нужно подумать, либо необходимо ее указать, либо достаточно отметить, что степень $%f(x)$% больше нуля.

(2 Июн '15 22:39) Urt

@Urt: лучше сформулировать как-то точнее, чтобы избежать тривиальных ситуаций. Ограничение на степень можно, наверное, преодолеть, взяв не $%1$%, а $%1+g(x)$% или типа того. Кстати, что означает сравнимость в случае рациональных функций? То, что после домножения на степень $%x$% многочлены станут сравнимыми?

(2 Июн '15 22:43) falcao

@falcao, хотелось бы довести эту задачку до кондиции. Изначально был такой вариант: Пусть $% k, n $% - натуральные числа, $% n= k(k-1)+1 $%, $% g_n(x)= (x^n-1)/(x-1) $%. При каком наибольшем значении $% k $% существует многочлен $% f(x) $% с целыми коэффициентами, для которого $% x^kf(x)f(1/x) = (k-1) \mod g(x)? $% Здесь, как будто, не нужно указывать степень $% f(x)? $%

(2 Июн '15 23:15) Urt

@Urt: пока не совсем понятна роль множителя $%x^k$%. Если он призван "компенсировать" отрицательные степени, то получается, что степень f равна k. Тогда слева получается степень 2k, и она меньше степени g. Кроме того, с константой получается сравнимо не то, что было в условии. Хотелось бы понять природу этих разночтений.

(2 Июн '15 23:40) falcao

@falcao, с добавлением множителя $% x^k $% погорячился. Полагалось, что в задаче должно обобщаться следующее представление: $% x(1+x)(1+1/x) \equiv x \mod g(x) $%, которое выполнимо и для некоторых других значений $% n $% при подходящих полиномах $% f(x) $%. Исключить указанные Вами тривиальные ситуации, пожалуй, можно, указав в вопросе темы, что степень полинома $% f(x) $% лежит в пределах от 1 до n-1. (?)

(3 Июн '15 0:22) Urt
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×925

задан
2 Июн '15 13:08

показан
281 раз

обновлен
3 Июн '15 2:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru