Можно ли определить принадлежность к классу (линейных) функций по вектору значений функции

задан 2 Июн '15 20:33

Этот вопрос звучит несколько странно в том смысле, что вектор значений полностью задаёт функцию со всеми её свойствами. Можно спрашивать, наверное, о том, насколько быстро и просто это можно определить. Стандартный способ состоит в том, что по вектору значений строится полином Жегалкина, из которого видно, будет ли функция линейной. В принципе, это же самое можно определить чуть проще.

(2 Июн '15 20:52) falcao

@falcao на лекции прозвучало "если вес вектора функции нечетный, то функция не является линейной", так ли это и можно ли утверждать, что если вес четный, то функция линейная?

(2 Июн '15 20:55) killedbymath

@killedbymath: если это слово звучало на лекции, то ему должно было даваться определение. Есть стандартные понятия, а есть такие, которые временно используются в каком-то контексте. Понятие "веса" относится ко второй категории. Оно в разных случаях может быть использовано для чего угодно. Если Вы дадите определение, то можно будет ответить на Ваш вопрос о необходимости этого условия для линейности функции. Если хотите, могу описать свой критерий.

(2 Июн '15 21:08) falcao

@falcao контекст не помню, опишите свои критерии, пожалуйста.

(2 Июн '15 21:11) killedbymath
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть функция задана своим вектором значений. Без ограничения общности можно считать, что на нулевом наборе значение равно нулю, потому что в противном случае набор значений можно заменить на противоположный, что на свойство линейности не влияет.

Теперь рассмотрим единичные векторы, то есть наборы вида $%e_i=(0,\ldots,1,\ldots,0)$% с единицей на $%i$%-м месте. Значения на этих векторах нам известны, и если функция линейна, то они всё однозначно определяют. На примере: пусть переменных у нас три, и мы знаем числа $%f(1,0,0)=a$%, $%f(0,1,0)=b$%, $%f(0,0,1)=c$%. Тогда для линейной функции должны выполняться равенства $%f(1,1,0)=a+b$%, $%f(1,0,1)=a+c$%, $%f(1,1,1)=a+b+c$% и им подобные. Все такие равенства можно непосредственно проверить, причём надо иметь в виду, что если переменных много, то и проверок надо делать много (почти $%2^n$%). Действительно, можно взять линейную функцию, а затем исказить её значение на каком-то одном наборе (или на двух), что будет трудно заметить без полного перебора.

С другой стороны, могут быть достаточно простые достаточные условия для нелинейности функции. Функции не более чем от одной переменной всегда линейны. Если же функция имеет более одной переменной, то для линейной функции сумма её значений по модулю 2 должна быть равна нулю. Если под "весом" имелось в виду число единиц в наборе значений, то для линейной функции двух и более переменных он должен быть чётен.

ссылка

отвечен 2 Июн '15 21:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,037
×131

задан
2 Июн '15 20:33

показан
1087 раз

обновлен
2 Июн '15 21:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru