2
1

Натуральное число $%n$% назовем смешным, если для любого положительного делителя $%d$% числа $%n$% число $%d+2$% является простым. Найти все смешные числа с наибольшим возможным количеством делителей.

задан 3 Июн '15 14:18

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%n$% смешное. Тогда оно имеет не более одного простого делителя, отличного от трёх. Действительно, если $%p$% -- такой делитель, то $%p$% и $%p+2$% не делятся на 3, откуда $%p+1$% кратно 3. Но тогда, если $%q$% -- второй такой делитель, то $%pq$% также делит $%n$%, но оно при делении на 3 даёт в остатке 1, и число $%pq+2$% не простое.

Таким образом, достаточно рассматривать числа, делящиеся на 3. Легко видеть, что числа вида $%3^k+2$% будут простыми при $%0\le k\le4$%, а $%3^5+2=245$% составное. Если $%n$% является степенью тройки, то делителей у него не более пяти. Предположим, что есть ещё какой-то простой делитель $%p$% -- он может быть всего один.

У чисел $%p+2$%, $%3p+2$%, $%9p+2$%, $%27p+2$% остатки от деления на 5 попарно различны, если $%p\ne5$% -- это сразу ясно из рассмотрения попарных разностей. При $%p=5$% эти числа принимают значения $%7$%, $%17$%, $%47$%, $%137$%, то есть все являются простыми. Отсюда следует, что число $%135$% смешное, и у него имеется $%8$% делителей. Покажем, что это значение максимально, и оно ни на каком другом числе больше не достигается.

Прежде всего, если $%p\ne5$%, то при остатках от его деления на 5, равных 1, 2, 3, 4, на 5 будут делиться $%3p+2$%, $%9p+2$%, $%p+2$%, $%27p+2$% соответственно, то есть они вместе не могут оказаться простыми. Тогда смешное число $%n$% будет иметь не более 6 делителей. Действительно, других простых делителей больше нет, а $%p^2$% делителем не будет из-за остатка 1 от деления на 3. Остаётся случай $%p=5$%, который мы уже рассмотрели, и здесь осталось заметить, что 81 делителем $%n$% быть не может ввиду того, что $%5\cdot81+2=407$% делится на 11.

Таким образом, только на числе $%135$% получается "рекордное" количество делителей, равное $%8$%.

ссылка

отвечен 3 Июн '15 22:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×626

задан
3 Июн '15 14:18

показан
614 раз

обновлен
3 Июн '15 22:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru