Имеется два ящика с чёрными и белыми шарами вперемешку. Шары и в том, и в другом перемешаны математически идеально. В одном ящике $%220$% шаров, в другом - $%330$%. Из каждого ящика одновременно наудачу взяли некоторое - одинаковое! - количество шаров, и комплект выбранных из одного ящика шаров переложили в другой, после чего количество белых и чёрных шаров в каждом ящике стало одинаково (см. "Задача о процентах"). Какое количество шаров было в комплекте? Является ли задача корректной с точки зрения теории вероятностей?

задан 1 Июл '12 8:35

изменен 2 Июл '12 20:24

%D0%90%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B5%D0%B9%20%D0%AE%D1%80%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87's gravatar image


3.9k318

3

А в чем юмор? Почему задача-шутка?

(2 Июл '12 16:46) Андрей Юрьевич
1

Про корректность с точки зрения теории вероятностей говорить трудно, т.к. никакие вероятности в условии задачи не фигурируют.

(2 Июл '12 19:25) Андрей Юрьевич

Количество шаров в комплекте можно считать случайной величиной?

(2 Июл '12 19:39) Anatoliy

Количество шаров в комплекте - искомая величина. Судите сами: случайна эта величина или нет

(4 Июл '12 21:22) nikolaykruzh...

Количество шаров в комплекте - искомая величина,она конкретна и сущностна. Но составы обоих комплектов вероятностны, их величины алгебраически нельзя представить без ссылки на теорию вероятности. Поэтому уравнения А. Ю. не полностью, не адекватно отражают процесс решения "Задачи-шутки". Если выбираются шары наугад (т.е. вслепую), нам никто не может гарантировать, что количество белых и чёрных шаров одинаково в обоих комплектах. Но в таком случае в алгебраическом смысле задачи нет. А "Задача о процентах" решаема. Вопрос: почему два условия неравноценны, хотя кажутся одинаковыми?

(4 Июл '12 22:02) nikolaykruzh...

Вообще-то уравнения, которые я написал в точности соответствуют словам, которые написали Вы в условии задачи. Впрочем то, что сформулированная Вами задача не имеет решения, очевидно и без уравнений: если количества белых и черных шаров каждого ящика стали одинаковыми, то одинаковыми стали и их суммы, т.е. полные количества шаров каждого ящика. А это невозможно, т.к. эти количества остались равными 220 и 330 соответственно.

(12 Июл '12 16:24) Андрей Юрьевич

Задача алгебраического решения не имеет, поэтому я и озаглавил её как "Задача-шутка". Условие задачи можно с натяжкой квалифицировать как условие. Как понимать слова: "...после чего количество белых и чёрных шаров в каждом ящике стало одинаково (см. "Задача о процентах")"?. Эти слова - калька условия "Задачи о процентах". "Одинаковость" - это чисто случайная величина, поэтому её в условие алгебраической задачи ставить нельзя: при одном эксперименте с комплектом - число разноцветных шаров одинаково, при следующем - разное.

(15 Июл '12 0:08) nikolaykruzh...

Два условия неравноценны, потому что они не одинаковы - прочитайте внимательно мое решение. Различие условий заключается в Вашей фразе "после чего количество белых и чёрных шаров в каждом ящике стало одинаково". Если ее заменить на фразу "доля белых (ну и, соответственно, черных ) шаров первого ящика стала равной доле белых шаров второго ящика", то задачи станут эквивалентными. Далее все написано в решении - не хочу повторяться.

(15 Июл '12 0:22) Андрей Юрьевич

Скорее это не задача-шутка, а сюрреалистическая задача. К реальности она отношения не имеет, зато каждый может "исправить" ее по своему - глядишь и получится что-то осмысленное. Но это вряд ли...

(15 Июл '12 17:31) DocentI

Можно было бы согласиться с Вашим, А. Ю., вариантом условия задачи, с "закавыченной" фразой, но Вы уверены, что в нескольких экспериментах с комплектом Вы всегда будете получать одинаковый результат, который объявляете в условии "... доля стала равной доле второго ящика..."? Состав комплекта каждый раз чисто случайная величина! Я исхожу из реальности, а Вы реальность хотите подогнать под условие задачи из-за желания получить нужный результат... Как перевести на русский "сюрреализм"? Увы, ответа не будет: кончились поля для комментариев.

(19 Июл '12 22:55) nikolaykruzh...

Поле, оказывается, есть. А. Ю., отвечаю на верное замечание: "...если количество шаров будет достаточно велико". В этом-то и дело! Если шары брать руками, то задача вероятностная, а если количество их "...достаточно велико" (надо бы уточнить: размеры их - на уровне размеров молекулы), то задача алгебраическая, и все Ваши уравнения верны. Под микроскопом никто не будет подсчитывать разницу в составе комплектов и самих ящиков, подсознательно считая их одинаковыми: $dx$% туда,$%dx$% сюда - какая разница!. А шары все на учёте!

(19 Июл '12 23:26) nikolaykruzh...

Цитата: "Сюрреализм — это реальность, освобожденная от банального смысла". То ли у Вас шары, то ли молекулы, то ли детерминированная задача, то ли вероятностная, то ли совпадает количество шаров, то ли их доля. Из Вашего условия это неясно, так что каждый может понимать задачу как хочет. Если, конечно, хочет...

(20 Июл '12 0:02) DocentI
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
1

Задача не вероятностная, а алгебраическая.

Пусть, в первом ящике $%w_1$% белых и $%b_1$% черных шаров, во втором, соответственно$%w_2$% белых и $%b_2$% черных. Предположим, что из каждого ящика берется $%p$% шаров, причем, из первого $%w_1'$% белых и $%b_1'$% черных, а из второго $%w_2'$% белых и $%b_2'$% черных. Условие задачи сводится к следующей системе уравнений: $$\left\{\begin{matrix} w_1+b_1=220\\ w_2+b_2=330\\ w_1'+b_1'=p\\ w_2'+b_2'=p\\ w_1-w_1'+w_2'=w_2-w_2'+w_1'\\ b_1-b_1'+b_2'=b_2-b_2'+b_1'\end{matrix}\right.$$ Выразив из первых четырех уравнений $%b_1,b_2,b_1',b_2'$% и подставив результат в последнее уравнение после очевидных преобразований получим систему двух уравнений $$\left\{\begin{matrix} w_1-w_2=2(w_1'-w_2')\\ w_2-w_1=110+2(w_2'-w_1')\end{matrix}\right.$$, которая, очевидно несовместна.

Таким образом, исходная задача не имеет решений.

Замечание 1. Если обобщить задачу, взяв вместо 220 и 330 некоторые значения $%S_1$% и $%S_2$%, не имеет решений при любых $%S_1 \ne S_2$%.

Замечание 2. Качество перемешивания шаров и вообще любые теоретико-вероятностные условия на решение задачи никак не влияют.

Дополнение (второй вариант задачи). Я нашел "задачу о процентах", на которую ссылается автор. Если предполагается, что эти задачи аналогичны, то данную задачу необходимо переформулировать:

*"доля белых шаров первого ящика стала равной доле белых шаров второго ящика"*.

Решим задачу в этой формулировке. Система уравнений несколько изменится. $$\left\{\begin{matrix} w_1+b_1=220\\ w_2+b_2=330\\ w_1'+b_1'=p\\ w_2'+b_2'=p\\ \frac{w_1-w_1'+w_2'}{220}=\frac{w_2-w_2'+w_1'}{330}\end{matrix}\right.$$

Для того, чтобы полностью свести данную задачу к процитированной "задаче о процентах", нужно ввести еще 2 условия, соответствующие большому числу шаров и равномерному их перемешиванию $$\left\{\begin{matrix} \frac{w_1'}{p}=\frac{w_1}{220}\\ \frac{w_2'}{p}=\frac{w_2}{330}\end{matrix}\right.$$ (доля белых шаров в комплекте равна их доле в ящике). Но ввести эти условия можно только в том случае, если количество шаров и в каждом ящике, и в выбираемом комплекте достаточно велико.

Первая система без учета второй имеет бесконечно много решений. Если же объединить эти системы в одну, то решение будет единственным $%p=132$%.

ссылка

отвечен 2 Июл '12 20:18

изменен 15 Июл '12 0:24

Но, ведь спрашивают какое количество шаров в комплекте! Если, например, в одном комплекте 1 белый шар, а в другом - 3, то наборы с содержимым: 0 белых в первом комплекте и 1 - во втором, можно выбрать несколькими способами.

(2 Июл '12 20:34) Anatoliy

О том и речь, что сколько бы не было шаров в комплекте (т.е. для любого p), выполнить условие задачи (уровнять количества белых и черных шаров) невозможно!

(2 Июл '12 20:39) Андрей Юрьевич

Я пропустил. Считал, что нужно уравнять количество белых шаров в ящиках.

(2 Июл '12 21:13) Anatoliy

«Задача о процентах» и «Задача-шутка» имеют одинаковые условия, но одна имеет решение, а вторая приводит к несовместным уравнениям. Первая задача алгебраическая, а вторая (всё-таки!) вероятностная. Составы комплектов, выбранных из обоих ящиков, вероятнее всего не идентичны, даже в том случае, если изначально количество белых и чёрных шаров в обоих ящиках одинаково. В чём дело? Скорее всего, в шарах: если они величиной с молекулу, то задача алгебраическая. А когда расплывчатая граница от алгебраической трактовки переходит к вероятностной?

(3 Июл '12 14:57) nikolaykruzh...

"Задача о процентах" - четыре номера назад

(3 Июл '12 15:08) nikolaykruzh...

Про какую "задачу о процентах" идет речь, я не знаю, поэтому ограничусь разбором данной задачей. Итак, 1)задача имеет решение и однозначный ответ; 2) к теории вероятностей задача отношения не имеет, т.к. в условии нет ни слова о вероятностях; 3) говорить о "размерах" шаров совершенно бессмысленно, т.к. в условии задачи нет объекта, с которым их можно было бы сравнивать; 4) если все-таки требуется какой-то сравнительный анализ задач, то на вторую задачу нужно дать нормальную ссылку.

(4 Июл '12 2:01) Андрей Юрьевич

"Задача о процентах" - четыре номера назад от "Задачи-шутки". Величина шаров, с точки зрения философии, меняет принцип подхода к решению задачи: является ли она алгебраической или вероятностной? С точки зрения философии математики! Молекул - несчётное множество (dx), а шаров - счётное (x)

(4 Июл '12 8:25) nikolaykruzh...

Что значит "четыре номера назад". Какие-такие номера? И молекул, и шаров - конечное число, только в первом случае очень большое.

(4 Июл '12 10:06) DocentI

"Задача-шутка", "Случайный вектор", "Случайная величина", "Задача о шарах", "Задача о процентах" - перечень вопросов в обратном порядке

(4 Июл '12 14:02) nikolaykruzh...

Ну и кто будет их искать? Для приличия надо выставить ссылку, т.е. поставить в квадратных скобках название,а за ним в круглых - саму ссылку.
А главное - непонятно, где они вообще есть, эти "номера". В списке Ваших вопросов - не нашла.

(4 Июл '12 14:49) DocentI
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если таким способом можно уравнять количество белых шаров в обоих ящиках, то можно поставить вопрос о комплекте, для которого эта вероятность максимальная. При этом задачу можно считать корректной (с точки зрения теории вероятности).

ссылка

отвечен 2 Июл '12 19:20

10|600 символов нужно символов осталось
0

М-м-м. Мне неясно. Фраза "комплект выбранных из одного ящика шаров переложили в другой" подразумевает, что вытащенные шары из ящика А положили в Б и, одновременно, вытащенные из ящика Б - в ящик А? Или только из первого ящика переложили во второй, а со второго удержали?

ссылка

отвечен 3 Июл '12 17:52

изменен 3 Июл '12 17:54

Одновременно вытащили и одновременно переложили

(4 Июл '12 8:17) nikolaykruzh...

Приношу извинения @ПЕлена за то, что многажды ссылался на её задачу, не упоминая её авторства. Спасибо, уважаемая @DocentI, за Вашу дружескую подсказку.

(5 Июл '12 17:46) nikolaykruzh...

Уважаемая @DocentI! За цитату спасибо... Если шары - это макрошары, то моя задача не решается по уравнениям А. Ю. А если шары - микрошары (молекулы), то уравнения применимы для решения задачи. Это моя точка зрения. У А. Ю. она другая. У Вас же столько "..то ли...", что за ними теряется смысл Ваших возражений. С чем Вы не согласны, непонятно. Поясните. Если, конечно, хотите.

(20 Июл '12 22:38) nikolaykruzh...

Я не возражаю, я недоумеваю. Вообще не поняла, о чем задача. Это какое-то неопределенное облако, в котором каждый может отыскать свой смысл, и сравнивать их (смыслы) бесполезно. Как вкусы, о которых не спорят

(20 Июл '12 23:13) DocentI

И правда: о чём спорить, если спорить уже не о чем? Доброго Вам дня и хорошего настроения!

(21 Июл '12 8:29) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,036

задан
1 Июл '12 8:35

показан
3094 раза

обновлен
21 Июл '12 8:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru