Пусть $%0 < a < b < d < ∞ $% и пусть $% ad =b^2$%. Доказать, что если 1) $% (a + b) > d$%, то $$lim {(a}/{b})^{x} = {({5}^{1/2} - 1})/{2}$$ при $%a → b$% и $%x → ∞$%, а если 2) $% (a + b) < d$%, то $$lim {(a}/{b})^{x} = {({5}^{1/2} - 1})/{2}$$ при $%a → b$% и $%x → 0$%,

задан 1 Июл '12 9:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

В первом случае $%\frac{a}{b}>\frac{\sqrt{5}-1}{2}$%, если взять $%x=\frac{1}{b-a}$%, то $%lim_{a->b}(\frac{a}{b})^x=lim_{a->b}(1-\frac{b-a}{b})^\frac{1}{b-a}=e^{-\frac{1}{b}}$%. ?

ссылка

отвечен 2 Июл '12 20:20

Ответ убедителен, но требование$%ad = b^2$% не соблюдено. Как Вы докажете, что это не так?

(4 Июл '12 21:16) nikolaykruzh...

Это учтено при доказательстве неравенства $%\frac{a}{b}>\frac{\sqrt{5}-1}{2}$%

(4 Июл '12 21:22) Anatoliy

Мне надо, как гоголевскому Вию, поднять веки, и тогда я увижу: "Вот он!!" Как учтено: в уме или в последующих математических рассуждениях?

(4 Июл '12 22:20) nikolaykruzh...

$%\left\{ \begin{aligned} a + b > d,\ ad = b^2,\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow$%$%\left\{ \begin{aligned} a + b > \frac{b^2}{a},\ ad = b^2,\ \end{aligned} \right.\Rightarrow(\frac{a}{b})^2+\frac{a}{b}-1>0 $%

(5 Июл '12 15:25) Anatoliy

Замечательно!.. Правый предел существует только функционально. А можете Вы прокомментировать ответ @Vvk (знак + у него - это досадная описка), сравнив со своим? Принцип доказательства ведь один и тот же. Обращаюсь к Вам, потому что у него нет поля для комментария

(5 Июл '12 16:32) nikolaykruzh...

В качестве бесконечно малой можно брать a-b или b-a, тогда и появляется различие в знаках. На результат это не влияет.

(5 Июл '12 16:49) Anatoliy

Это у меня заморочка вышла. У @Vvk всё правильно: в формуле замечательного предела должен быть знак +. "На результат это не влияет". Согласен, можно брать $%(a-b$% или $%b-a$%, но у Вас получен функциональный предел, а у него - неопределённость. Может, он прочитает нашу переписку и объяснится? И что Вы думаете по этому вопросу? Впрочем, надо подождать его отклика.

(5 Июл '12 17:24) nikolaykruzh...

Суть состоит в том, что в обоих случаях указывается на вариантность в значении предела.

(5 Июл '12 17:50) Anatoliy
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Это не предел дроби, а двойной предел. Получаем $$ \lim_{x\to\infty,a\to b}\bigg(\frac{a}{b}\bigg)^x= \lim_{x\to\infty,a\to b}\bigg[\bigg(1+\frac{a-b}{b}\bigg)^{\frac{b}{a-b}}\bigg]^{x\frac{a-b}{b}} =\mathrm{e}^{\lim_{x\to\infty,a\to b}x\frac{a-b}{b}}.$$ Предел в показателе экспоненты $$\lim_{x\to\infty,a\to b}x\frac{a-b}{b}$$ может быть каким угодно, или не существовать вовсе - в зависимости от того, с какими скоростями стремятся x, b к указанным значениям.

ссылка

отвечен 3 Июл '12 14:57

Есть доказательство того, что $%(a/b)^x = (5^(1/2) – 1)/2$%, если $% ad = b^2$%. Но поля комментария недостаточно для его записи (ну точно как у П. Ферма с его Великой теоремой! - шутка). Можно предположить, что и на концах оси абсцисс величина этого предела не изменится.

(4 Июл '12 8:00) nikolaykruzh...

Тогда надо уточнить, что такое здесь b и d. Это постоянные? Но тогда и a тоже постоянная, в силу равенства, и никуда не может "стремиться". Или постоянная только d? Тогда мы имеем функцию трех переменных - a, b, x. И задача повисает в воздухе - это не задача вычисления предела, а нахождения асимптотической формы данной функции.

(4 Июл '12 8:59) Vvk

Уточните условия задачи. Чем являются в формулировке задачи $%a,b,d$%? Есть ли среди них постоянные? Есть ли ограничения в знаках этих величин? Точно решить задачу можно только имея точную её формулировку. При формулировки задачи прошу также учесть, что запись вида $$\lim_{x\to\infty,a\to b }f(x,a,b), $$ где $% f(x,a,b)$% -- некоторая функция переменных $%x,a,b$% является бессмыслицей, не имеет никакого математического смысла.

(4 Июл '12 10:04) Vvk

$%d$% - величина постоянная. все остальные - переменные. Исходное выражение возникает при решении уравнения кругоиды $%a^x + b^x = d^x$%(см. вопрос "Как определить длину кругоиды?" от 05.02.2012 г.) Все величины - стороны треугольника (для случая (a + b)> d).

(4 Июл '12 13:56) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×316
×90

задан
1 Июл '12 9:29

показан
1288 раз

обновлен
5 Июл '12 17:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru