Подскажите, как это называется, а то не знаю, что гуглить.

Нужно вывести формулу зависимости $$f(n)$$ если $%f(4)=9^1+9^2\cdot3$%, а $%f(6)=9^1+9^2\cdot4+9^3\cdot5$% и т.д. для любых чётных $%n\ge4$%

задан 5 Июн '15 17:38

изменен 6 Июн '15 13:08

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Правильно ли я понимаю, что $%f(8)=9^1+9^2\cdot5+9^3\cdot6+9^4\cdot7$%? Если да, то это считается просто, через суммы геометрических прогрессий.

(5 Июн '15 17:52) falcao

Да, я тоже так понимаю... проходил лет 20 назад, позабыл всё. Спасибо за наводку, пойду почитаю.

(5 Июн '15 17:59) Isaev
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь речь идёт о сумме $%f(2n)=9^1+(n+1)\cdot9^2+(n+2)\cdot9^3+\cdots+(2n-1)\cdot9^n$%. Её можно представить как $%f(2n)=9+n(9^2+9^3+\cdots+9^n)+9^2(1+2\cdot9^1+\cdots+(n-1)\cdot9^{n-2})$%.

Выражение внутри первой скобки суммируется как геометрическая прогрессия; там получается $%9^2\cdot\frac{9^{n-1}-1}{9-1}$%. Для вычисления суммы внутри второй скобки введём функцию $%f(x)=1+2x+\cdots+(n-1)x^{n-2}=(x+x^2+\cdots+x^{n-1})'=(\frac{x^n-x}{x-1})'$%. Далее находим производную частного, а потом подставляем $%x=9$%, что приводит к итоговой формуле.

ссылка

отвечен 5 Июн '15 18:11

Производная же так находится? $$(\frac{x^n-x}{x-1})'=\frac{n(x-1)(x^{n-1}-1)-(x^n-x)}{(x-1)^2}$$

(8 Июн '15 18:13) Isaev

@Isaev: Так.

(8 Июн '15 18:42) EdwardTurJ

Значит, я не совсем понял процесс вывода формулы, потому чуть поменяю условие, чтобы можно было провести параллели. Пусть по условию будет, например: $$f(4)=9+9^3\cdot3$$ $$f(6)=9+9^3\cdot4+9^4\cdot5$$ $$f(8)=9+9^3\cdot5+9^4\cdot6+9^5\cdot7$$ Тогда речь идёт о формуле: $%f(2n)=9+(n+1)9^3+(n+2)9^4+(n+3)9^5+...+(2n-1)9^{n+1}$%.

Её можно представить как: $%f(2n)=9+n(9^3+9^4+\cdots+9^{n+1})+9^3(1+2\cdot9^1+\cdots+(n-1)\cdot9^{n-2})$%.

Выражение внутри первой скобки суммируется как геометрическая прогрессия; там получается $$9^3\cdot\frac{9^{n-1}-1}{9-1}$$

(8 Июн '15 18:48) Isaev

Формула для $%f(x)$% в данном случае будет та же, как я понимаю. В чём ошибка? Сдаётся мне, в геометрической прогрессии? $%9^3$% же не первый член.

(8 Июн '15 18:48) Isaev

Суммы внутри второй скобки одинаковы, поэтому и формула для $%f(x)$% в данном случае будет та же (лучше обозначить эту функцию иной буквой).

(8 Июн '15 18:58) EdwardTurJ

@Isaev: той информации, которая была здесь дана, вполне достаточно. Основная вещь -- это просуммировать выражение типа $%f(x)$%. Дальше -- чистая техника, то есть надо собрать всё вместе и привести подобные члены. Если делать это внимательно, то должно получиться. Ответ легко протестировать, подставив небольшие значения $%n$%. Если где-то $%9^2$% заменить на $%9^3$%, то соответствующие выражения домножатся дополнительно на $%9$%.

(8 Июн '15 19:54) falcao

@falcao, Так я о том и говорю, что не сходится... $%f(2n)=9+n(9^3\cdot\frac{9^{n-1}-1}{9-1})+9^3(\frac{8n(9^{n-1}-1)-(9^n-9)}{8^2})$%

Подставляем $%f(2\cdot2)=9+2(9^3\cdot\frac{9-1}{9-1})+9^3(\frac{16(9-1)-(9^2-9)}{8^2})=9+2\cdot9^3+9^3\frac{7}{8}=2104.875\ne9+9^3\cdot3$% (из условия)

(8 Июн '15 20:51) Isaev
1

@Isaev: здесь как раз легко проследить источник ошибки. Не сходится последнее слагаемое. Оно идёт от производной. А там у Вас не туда вынесен множитель $%n$%. Должно быть $%(x-1)(nx^{n-1}-1)$%.

(8 Июн '15 20:57) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×849

задан
5 Июн '15 17:38

показан
565 раз

обновлен
8 Июн '15 20:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru